答：最少是一個(gè)，最多是三個(gè)

  【評(píng)析】該題根據(jù)實(shí)系數(shù)復(fù)數(shù)方程虛數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)得到的結(jié)論，但這一結(jié)論在當(dāng)時(shí)并沒有在大范圍的教材中出現(xiàn)。

解：左式=(x⁴+5x³-6x²）-（x²+8x+12）=(x+6)[x²(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x³-x²-x-2)

=(x+6)[(x³-2x²)+(x²-x-2)] =(x+6)(x-2)(x²+x+1)=0可得原方程的四根為：

【評(píng)析】該題分解因式的技巧性過強(qiáng)，多數(shù)學(xué)生不能完成，競賽性質(zhì)太濃

1963?5．根據(jù)對(duì)數(shù)表求的值

解：

【評(píng)析】對(duì)數(shù)值中的符號(hào)，當(dāng)時(shí)是否應(yīng)該、有必要引入中學(xué)還在討論當(dāng)中，高考就出現(xiàn)了這樣符號(hào)。結(jié)論：研究及有爭議的內(nèi)容不能在試題中出現(xiàn)。

1965附加題（1）已知為實(shí)數(shù)，證明均為正數(shù)的充要條件是

（2）已知方程的三根都是實(shí)數(shù)，證明是一個(gè)三角形的三邊的充要條件是

證明：（1）條件的必要性是顯然的，因?yàn)橐阎?sub>

所以立即可得，，

下面證明條件的充分性：

設(shè)是三次方程的三個(gè)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件有

此即由此即可知三次方程的系數(shù)正負(fù)相間，所以此方程無負(fù)根，即方程根均非負(fù);又由可知，方程無零根，故

（2）由（1）的證明可知，均為正數(shù)的充要條件是于是問題轉(zhuǎn)化為證明為三角形三條邊的充要條件為

條件的必要性：

若為三角形的三邊，則由三角形的性質(zhì)必有

于是

由此可得

即.條件的充分性：若，則

此式中至少有一因式大于0，今設(shè)則必有

如果兩式相加得，即，此與相矛盾

故有此即

此即可作為一個(gè)三角形的三條邊

綜上所證可知，方程的三根為一個(gè)三角形的三條邊的充要條件是

【評(píng)析】這個(gè)試題以附加題形式出現(xiàn)，難度較大，但也不能大到無一人（甚至參加國際數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生）能作上程度。結(jié)論：試題不能無線拔高。

（1977北京文4）不查表求sin105⁰的值

解：

【評(píng)析】當(dāng)時(shí)，并沒有要求記特殊角三角函數(shù)值，所以題雖然不難，但會(huì)的人不多。

（1977年福建理科2（2）題）證明：

（1977年河北試題第3題）．證明：

證：左邊=

=右邊

（1977年上海理科第1（4）題）求證：

【評(píng)析】這些該題本身不難，但三角證明題幾地都出現(xiàn)證法太多，標(biāo)準(zhǔn)不易統(tǒng)一，給閱卷帶來非常大的難度。結(jié)論：三角證明一般不作為證明題出現(xiàn)。

   （1977年福建理科第3題）在半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)，依次連結(jié)各邊的中點(diǎn)，得一正六邊形，又在這一正六邊形內(nèi)，再依次連結(jié)各邊的中點(diǎn)，又得一正六邊形，這樣無限地繼續(xù)下去，求：（1）前n個(gè)正六邊形的周長之和S_n;（2）所有這些正六邊形的周長之和S.

解：如圖，半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形的周長為6R，

       A       B       

           C  E        

               D       

          O              

設(shè)C為AB的中點(diǎn)，連結(jié)OC，OB，則OC⊥AB

∴OC=CD=

第二個(gè)正六邊形的周長

同理可得

第三個(gè)正六邊形的周長第四個(gè)正六邊形的周長…………

于是可以得到一個(gè)表示正六邊形周長的數(shù)列：

6R，……

①前n個(gè)正六邊形周長的和

②所有這些正六邊形周長的和

【評(píng)析】從題本身上看，該題是一個(gè)好題，但是其答案在全國引起爭議――歸納出的結(jié)論到底是否要證明是等比數(shù)列？即使不證明也要體現(xiàn)有等比數(shù)列的過程。從該題對(duì)以后影響是，出現(xiàn)了用式子表達(dá)等比、等差數(shù)列熱潮。

（1977年福建文科第4題）．求拋物線和圓在第一象限的交點(diǎn)處的切線方程

解：解方程組

（1）代入（2）得

x=3,x=-12（不合題意）將x=3代入（1），得（僅取正值），

∴在第一象限的交點(diǎn)為（）從拋物線得

∴過點(diǎn)（）的拋物線的切線方程是

過點(diǎn)（）的圓的切線方程是即

【評(píng)析】該題的問題是表述不清：有人認(rèn)為只求拋物線的切線方程，也有人認(rèn)為只求圓的切線方程，答案倒認(rèn)為是求圓和拋物線的方程。

（1977年黑龍江第2題第（1）問）．計(jì)算下列各題：

解：當(dāng)當(dāng)

【評(píng)析】該題引發(fā)了分段表示法的爭論，結(jié)論，如果是分段出現(xiàn)的，結(jié)果一般用分段函數(shù)形式給出

（1977年江蘇第1（5）題）把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程

解：原方程可展開為

【評(píng)析】該題從一般情況下考慮（直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸且長度單位不變），但沒有交代清楚一般情況下，以致于該題出現(xiàn)的情況是：一般的學(xué)生答的好，程度很高的如參加競賽的學(xué)生反倒沒有答好！屬于交代不明出現(xiàn)的失誤。

（1977年上海理科第6題）已知兩定點(diǎn)A（-4，0）、B（4，0），一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）與兩定點(diǎn)A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為求點(diǎn)P的軌跡方程，并把它化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出是什么曲線

解：直線PA、PB的斜率分別是

【評(píng)析】該題解答有誤，應(yīng)該加上條件(x≠±4，相應(yīng)曲線為以（±2,0）為焦點(diǎn)、以8為長軸的橢圓，去掉長軸的兩個(gè)端點(diǎn))。結(jié)論：說明軌跡、圖形的問題要保證惟一及等價(jià)。

（1979年文科理科第四題）敘述并證明勾股定理

證：略

【評(píng)析】這個(gè)題當(dāng)時(shí)答案是用坐標(biāo)法的距離公式證明的，但是距離公式是由勾股定理推導(dǎo)出的，因而形成“因?yàn)锳……所以A”的循環(huán)論證錯(cuò)誤，而得出一般用拼圖法得到；拼圖法能否算作證明還在爭論中，但當(dāng)年多數(shù)省市按錯(cuò)對(duì)待。結(jié)論：數(shù)形結(jié)合的方法得到的結(jié)論不能以證明題的形式出現(xiàn)。

（1980年理科第八題）已知0＜α＜π，證明：并討論α為何值時(shí)等號(hào)成立

解：即證：兩端乘以sinα，問題化為證明2sinαsin2α≤1+cosα.而 2sinαsin2α=4sinαcos²α=4(1-cos²α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα

所以問題又化為證明不等式 (1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0

（1+cosα)≤0∴不等式得證

∵0＜α＜π,∴等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)cosα-=0 即α=60⁰

【評(píng)析】這些該題本身不難，但三角證明題出現(xiàn)證法太多，標(biāo)準(zhǔn)不易統(tǒng)一，給閱卷帶來非常大的難度。另一方面，這一答案給出的分析法證明格式也不對(duì)，一般分析法證明題格式“要證A，只要證B”形式，B是A的充分不必要條件即可，而不是由A導(dǎo)出B。

    （1982年文科第七題）已知定點(diǎn)A，B且AB=2，如果動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和到點(diǎn)B的距離之比為2∶1，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

解：選取AB所在直線為橫軸，從A到B為正方向，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，過O作AB的垂線為縱軸，則A為（-，0），B為（，0），設(shè)P為（x,y)

因?yàn)閤²,y²兩項(xiàng)的系數(shù)相等，且缺xy項(xiàng)，所以軌跡的圖形是圓

（1983年文科第九題）如圖，已知兩條直線L₁:2x-3y+2=0,L₂:3x-2y+3=0.有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與L₁，L₂都相交，并且L₁，L₂被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26，24求圓心M的軌跡方程，并說出軌跡的名稱

解：設(shè)圓心M的坐標(biāo)為(x,y)，圓的半徑為r，

點(diǎn)M到L₁，L₂的距離分別為d₁,d₂

根據(jù)弦、弦心距、半徑三者之間的關(guān)系，有

      Y                       

                   L₂         

                       L₁    

               M              

     O                 X      

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得

軌跡是雙曲線

   【評(píng)析】答案說法有誤：說圓應(yīng)為以…為圓心，以…為為半徑的圓,說雙曲線說明以…為焦點(diǎn)…為實(shí)軸長的雙曲線。

【說明】這段時(shí)間，考試的目的是考察中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，命題的人員以中學(xué)教師為主，為減少敗題的出現(xiàn)機(jī)率，采取了科研測試方法（科研測試題從1988年暫停,1992年恢復(fù)），因此，這一階段的敗題多是不復(fù)合教學(xué)大綱的試題。

（1984年理二2）函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？

答：x＜-2.

【評(píng)析】該題用到了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，但這一內(nèi)容在當(dāng)時(shí)教學(xué)大綱中明確不要求。

（1984年理五）設(shè)c,d,x為實(shí)數(shù)，c≠0，x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時(shí)求出它的解

解：原方程有解的充要條件是：

由條件（4）知，所以再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中

再由條件（3）及，知因此，原條件可簡化為以下的等價(jià)條件組：

由條件（1）（6）知這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：

①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;

②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.

再由條件（1）（5）及（6）可知

從而，當(dāng)c＞0,d＜1且時(shí)，或者當(dāng)c＜0,d＞1且時(shí)，原方程有解，它的解是

【評(píng)析】該題即從兩個(gè)層次考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化，中間又涉及了分類討論，難度比較大，是一個(gè)考查能力的試題，與當(dāng)時(shí)考查“雙基”要求不符；結(jié)論：考查數(shù)學(xué)思想從深度及廣度同時(shí)考查時(shí)，不能在某一思想上究得太深。

（1984年理六2）求經(jīng)過定點(diǎn)M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程

解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），且以y軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A（x,y），因?yàn)闄E圓的離心率為，所以左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的，從而左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，則d=1

根據(jù)及兩點(diǎn)間距離公式，可得

【評(píng)析】該題在當(dāng)時(shí)一改習(xí)慣于教材上直接法求軌跡方程的步驟，被認(rèn)為是對(duì)教學(xué)大綱的偏執(zhí)理解，沒有考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，所以當(dāng)作一種研究性的材料還可以，并最終誕生了相關(guān)點(diǎn)法的應(yīng)用。至于到了考查能力時(shí)，它則又成為一道好題，那是十年之后的事情了！

（1984年理七）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為,b,c，且c=10，

，P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值

解：由，運(yùn)用正弦定理，有因?yàn)锳≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，

如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O＇，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則

       Y                             

          B（0，6）                  

               D                   

      E      O＇ P（x,y)           

                                X    

      O  C（0，0）     A（8，0）   

AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，

所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.

如圖建立坐標(biāo)系，

則內(nèi)切圓方程為:

(x-2)²+(y-2)²=4

設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以，

S_最大值=88-0=88，S_最小值=88-16=72

解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

從而

因?yàn)?sub>，所以S_最大值=80+8=88，

S_最小值=80-8=72

【評(píng)析】該題是對(duì)知識(shí)的大綜合，對(duì)于學(xué)生而言難度較大，而且就1984年的高考試題，解答題基本上是題題設(shè)防、題題堡壘，從整體上脫離了中學(xué)教學(xué)的實(shí)際。

（1984年文五）把化成三角函數(shù)的積的形式(要求結(jié)果最簡）

【評(píng)析】當(dāng)時(shí)三角式最簡沒有明確什么什么樣算最簡，這一名次的提出具有超前性，對(duì)于文科生更感不易，但它引領(lǐng)了一個(gè)各種化簡結(jié)果最簡的研究方向。結(jié)論：研究方向不能替代僅僅那么一點(diǎn)時(shí)間高考試題！

（1985年全國文科第四題）證明三角恒等式

證：

【評(píng)析】三角證明題不宜作為大題考查，這是幾年前的經(jīng)驗(yàn)，該題重蹈了歷史覆轍。1988年的文科數(shù)學(xué)試題第三題是“證明”，1989年全國理科19文、科20題“證明：”繼續(xù)重蹈歷史覆轍！

（1986年理文科一（6）題）設(shè)甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，那么丁是甲的       （   ）（A）充分條件  （B）必要條件

   （C）充要條件           （D）既不充分也不必要的條件

答案D

【評(píng)析】該題僅僅說了甲是乙的充分條件，沒有說是否必要，因此該題的敘述不嚴(yán)格。這一不足，在以后命題中加以了改進(jìn)，并滲透到平時(shí)教學(xué)中。

（1988年全國理科、文科一14）假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有                         （   ）

（A）種  （B）種（C）種   （D）種

答案B

【評(píng)析】該題不難，但是用符號(hào)而不用數(shù)值表示過多的限制了考試的思維，當(dāng)年引起專家爭議。隨后的再實(shí)驗(yàn)，用事實(shí)說明了“這種用符號(hào)表示的題要么太難，要么太易，還是以數(shù)值表示比較好！”

（1989年全國理22、文23）已知試求使方程有解的k的取值范圍

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應(yīng)滿足

當(dāng)（1），（2）同時(shí)成立時(shí)，（3）顯然成立，因此只需解

由（1）得

當(dāng)k=0時(shí)，由a>0知（4）無解，因而原方程無解

當(dāng)k≠0時(shí)，（4）的解是

把（5）代入（2），得

解得：

綜合得，當(dāng)k在集合內(nèi)取值時(shí)，原方程有解

【評(píng)析】該題從題本身而言是一個(gè)好題，但是該題在當(dāng)年許多學(xué)校已經(jīng)練習(xí)過，作為高考試題，照搬原題是不適當(dāng)?shù)摹?/p>

（1989年上海14）兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座（每人一個(gè)座位），則不同的坐法種數(shù)為（   ）

A,CC    B,   C,    D,

答案：D

【評(píng)析】該題是對(duì)1988年全國214題的延續(xù)再實(shí)驗(yàn)，事實(shí)說明 “排列組合問題結(jié)果這種用符號(hào)表示的題要么太難，要么太易，還是以數(shù)值表示比較好！而且這種命題從方式上也限制了學(xué)生的思維”

（1990年全國理科第9題、文科11題）設(shè)全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|, x、y∈R },N={(x,y)|y≠x+1, x、y∈R }，那么＝（    ）

A,     B,{(2,3)}       C,(2,3)       D,{(x,y)|y=x+1}

【答案】B

【評(píng)析】該題基本上照搬了1986年上海理科第20題：若全集U={(x,y)|x、y∈R},A={(x,y)|, x、y∈R },B={(x,y)|y=x+1, x、y∈R },則_UA∩B是（    ）A, _UA       B,B        C,      D,{(2,3)}，高考試題照搬應(yīng)該不是件好事。

 （1991年全國理23題） 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點(diǎn)B到平面EFG的距離．

 解：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O． 因?yàn)?i>ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．

BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點(diǎn)G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾．

由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．                                                  

∵ BD⊥AC，

∴ EF⊥HC．

∵ GC⊥平面ABCD，

∴ EF⊥GC，

∴ EF⊥平面HCG．

∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．              作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．                                          

∵ 正方形ABCD的邊長為4，GC=2，

∴ AC=4，HO=，HC=3．

∴ 在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴ OK=．

即點(diǎn)B到平面EFG的距離為． 

   【評(píng)析】該題作輔助線太多，難度過大，是歷年立體幾何題少見的難度；但它的出現(xiàn)，將中學(xué)教學(xué)的“距離”引向以點(diǎn)面距為核心的研究上，就當(dāng)年而言，此題與考查雙基的思想不符。         

（1991年全國理科25題）已知n為自然數(shù)，實(shí)數(shù)a>1，解關(guān)于x的不等式

log_ax－logx＋12logx＋…＋n (n－2)logx>log(x²－a)

解：利用對(duì)數(shù)換底公式，原不等式左端化為

log_ax－4?＋12?＋…＋n(－2)^n－1 ? =[1－2＋4＋…＋(－2)^n－1] log_ax =log_ax故原不等式可化為log_ax>log_a(x²－a)．      ①

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，>0，不等式①等價(jià)于  log_ax>log_a(x²－a)．             ②

因?yàn)?i>a>1，②式等價(jià)于                                

因?yàn)?sub><0， >=，所以，不等式②的解集為{x|<x<}．                   

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，<0，不等式①等價(jià)于log_ax>log_a(x²－a)．           ③

因?yàn)?i>a>1，③式等價(jià)于  或                  因?yàn)?sub>                  

所以，不等式③的解集為{x|x>}．

綜合得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原不等式的解集是{x|}；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原不等式的解集是{x|}

【評(píng)析】該題照搬了當(dāng)年湖北黃岡、河北辛集中學(xué)及北京海淀區(qū)的模擬試題，包括數(shù)值都沒有變化。

（1991年三南高考數(shù)學(xué)第24題）設(shè)函數(shù)f(x)=x²+x+的定義域是[n,n+1]（n是自然數(shù)），那么在f(x)的值域中共有_____________個(gè)整數(shù)

【答案】2n+2

【評(píng)析】這是當(dāng)年希望杯數(shù)學(xué)競賽的一道數(shù)學(xué)試題，在高考中出現(xiàn)而且仍然以填空題出現(xiàn)，有照抄之嫌。

（1992年三南第14題）設(shè)數(shù)列{a_n}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2,a₁a₂……a₃₀=2³⁰,那么a₃a₆a₉…a₃₀=（ ）

A,2¹⁰            B,2²⁰            C,2¹⁶             D,2¹⁵

【答】B

【評(píng)析】該題運(yùn)算量比較大，也是希望杯競賽中一個(gè)非常類似的題，在還沒有將運(yùn)算能力當(dāng)作一種能力考查時(shí)，出此題顯然違背了考查“雙基”的初衷。

【說明】該階段，高考內(nèi)容上以《考試說明》為準(zhǔn)繩，目的逐步變化成“為大學(xué)選拔新生服務(wù)的選拔性能力考試”，命題的人員也逐步變化為以高校為主，出臺(tái)了許多量化指標(biāo)，該階段的敗題，主要體現(xiàn)為預(yù)估難度（考試說明的規(guī)定難度）與實(shí)際難度（實(shí)際分?jǐn)?shù)）不符，這一原因現(xiàn)在多數(shù)專家認(rèn)為是高校教師不了解中學(xué)教學(xué)的實(shí)際所致。

（1994年全國理文23題）如圖，已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)．

(1)證明AB₁∥平面DBC₁；(2)假設(shè)AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù)．

【解答】(1)證明：∵A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．連結(jié)B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連結(jié)DE．在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B₁BCC₁，連結(jié)EF，則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．∵AB₁⊥BC₁，由(1)知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，則BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．設(shè)AC=1，則DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，

DF=DC?sinC=，CF=DC?cosC=．取BC中點(diǎn)G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，EF²=BF?GF，又BF=BC－FC=，GF=，∴EF²=?，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．故二面角α為45°．

（1994年上海18）計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排列一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（    ）種

A,     B,    C,      D,

【答】D

【評(píng)析】這種排列組合用符號(hào)表示的試題在全國1988年已經(jīng)有了不宜出的結(jié)論，它再次重蹈了歷史覆轍。

（1996年全國理22、文23）如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁． (Ⅰ)求證：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù)．

注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為(Ⅰ)的完整證明，并解答(Ⅱ)．(右下圖)

(Ⅰ)證明：在截面A₁EC內(nèi)，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵                                     

∴EG⊥側(cè)面AC₁;取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵                            

∴BF⊥側(cè)面AC₁;得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG．

③ ∵                      

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，

④ ∵                            

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵                    

∴，即

【解答】①∵面A₁EC⊥側(cè)面AC₁， ②∵面ABC⊥側(cè)面AC₁，   ③∵BE∥側(cè)面AC₁

④∵BE∥AA₁，                 ⑤∵AF=FC，   

(Ⅱ)解：分別延長CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連結(jié)A₁D．

∵∥，

∴∵∠B₁A₁C₁=∠B₁ C₁A₁=60°，

∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180°－∠D B₁A₁）=30°，

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即⊥                     

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA₁⊥A₁C，

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，

∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角為45°

【評(píng)析】以這種填空題形式出現(xiàn)，過多地限制了學(xué)生思維，出現(xiàn)了實(shí)際結(jié)果與預(yù)估難度非常大的反差。立體幾何試題這樣出不當(dāng)；通過該題，也使近年立體幾何的研究開始了降溫。同時(shí)也使不少專家反�。焊呖荚囶}與研究熱點(diǎn)及競賽試題還是當(dāng)有區(qū)別的。同時(shí)，也確定了從1997年開始高考試題的進(jìn)行量化評(píng)價(jià)。

（1997年全國理15）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有(    ) (A) 150種      (B) 147種     (C) 144種    (D) 141種

【解答】D

【評(píng)析】該題無論從直接還是間接思路，都要進(jìn)行三級(jí)分類討論，體現(xiàn)為試題很難。難度為0.18，按照當(dāng)年《考試說明》，難度低于0.2的，應(yīng)該算作廢題。結(jié)論：考查單一的知識(shí)與思想，層數(shù)不能超過三級(jí)。

（1997年全國理24）設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x₁,x₂滿足0<x₁<x₂<． I．當(dāng)x(0, x₁)時(shí)，證明x<f (x)<x₁；

II．設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x₀對(duì)稱，證明x₀<

【解析】證明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因?yàn)?i>x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以

F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)．

當(dāng)x∈(0，x₁)時(shí)，由于x₁<x₂，得(x－x₁)(x－x₂)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)>0，

即x<f(x)．

因?yàn)?sub>所以x₁－x>0，1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂>1－ax₂>0．

得  x₁－f(x)>0．由此得f(x)<x₁．

(Ⅱ)依題意知

因?yàn)閤₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根．

∴，

因?yàn)閍x₂<1，所以

【評(píng)析】該題就某一知識(shí)進(jìn)行了加深，競賽味道過于濃厚。實(shí)際難度為0.09,也屬于廢題。

（1997年全國理25）設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

【解析】解法一:設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為│b│，  │a│．由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90°，知圓P截X軸所得的弦長為，故r²=2b²，又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r²=a²+1．

從而得2b²－a²=1．又點(diǎn)P(a，b)到直線x－2y=0的距離為

，所以5d²=│a－2b│² =a²+4b²－4ab ≥a²+4b²－2(a²+b²) =2b²－a²=1，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)5d²=1，從而d取得最小值．

由此有解此方程組得或由于r²=2b²知．

于是，所求圓的方程是(x－1) ²+(y－1) ²=2，或(x+1) ²+(y+1) ²=2．

解法二:同解法一，得∴

得       ①將a²=2b²－1代入①式，整理得

       ②

把它看作b的二次方程，由于方程有實(shí)根，故判別式非負(fù)，即△=8(5d²－1)≥0，

得  5d²≥1．∴5d²有最小值1，從而d有最小值．

將其代入②式得2b²±4b+2=0．解得b=±1．將b=±1代入r²=2b²，得r²=2．由r²=a²+1得a=±1．綜上a=±1，b=±1，r²=2．由=1知a，b同號(hào)．

于是，所求圓的方程是(x－1) ²+(y－1) ²=2，或(x+1) ²+(y+1) ²=2．

【評(píng)析】該題就某一知識(shí)進(jìn)行了加深，競賽味道過于濃厚。實(shí)際難度為0.20,屬于廢題。通過1997年高考數(shù)學(xué)試題，專家們得出這樣結(jié)論：競賽試題要對(duì)某一知識(shí)應(yīng)用中強(qiáng)調(diào)技巧，高考試題不能過多地偏重于技巧。

.（1999年全國文理16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有___________種（用數(shù)字作答）

【解答】12

【評(píng)析】該題的愿意是選壟并種播，但是題目沒有明確敘述清楚，而只是籠統(tǒng)的說有多少種選法。

（1999年全國文理23，廣東20）右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出.

Ⅰ.輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過.問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？

Ⅱ.已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600若第對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算、、并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

軋錕序號(hào)

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距（單位：）

1600

【解答】Ⅰ.解：厚度為的帶鋼經(jīng)過減薄率均為的對(duì)軋輥后厚度為

為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足即 由于對(duì)比上式兩端取對(duì)數(shù)，得

由于所以因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥.

Ⅱ. 解法一：第對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積為寬度而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為寬度.因?qū)挾认嗟�，且無損耗，由體積相等得  即由此得填表如下

    軋錕序號(hào)                  1        2        3        4

疵點(diǎn)間距（單位：）       3125     2500     2000     1600

解法二：第3對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?sub>所以同理        

填表如下

軋錕序號(hào)                      1        2        3        4

疵點(diǎn)間距（單位：）       3125     2500     2000     1600

【評(píng)析】該題情景對(duì)多數(shù)學(xué)生而言太過陌生，當(dāng)年?duì)幾h也非常大，“本身題是好題，但不適合學(xué)生作！”在當(dāng)年的評(píng)價(jià)種，出現(xiàn)了“不同地域、不同背景的學(xué)生能夠看懂”的說法，同時(shí)從這一年開始，原來的評(píng)價(jià)報(bào)告改成了分析報(bào)告。并取消了知識(shí)點(diǎn)覆蓋率與難度低于0.2為廢題的說法，將試題的評(píng)價(jià)指標(biāo)指引到“更應(yīng)注重其區(qū)分度上”。

（2000年全國、江西文理22，廣東22）如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍．

【解答】解：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xoy，則CD⊥y軸．因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于x軸對(duì)稱．依題意，記A(－c，0)，C(，h)，E(x₀, y₀)，其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x₀== ，

．設(shè)雙曲線的方程為，則離心率.由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得，                      ①

．     ②             由①式得    ，                    ③將③式代入②式，整理得，故    ．  由題設(shè)得，．解得．所以雙曲線的離心率的取值范圍為．                       

【評(píng)析】該題是1999年后，取消“0.2之下為廢題”的說法，代之于“只要有一個(gè)辦法中學(xué)能解即可”政策下出現(xiàn)的試題，但預(yù)估難度為0.21而實(shí)際難度為理科0.09、區(qū)分度為0.332.，文科難度0.10,區(qū)分度0.370.應(yīng)該說這次嘗試沒有成功。

（1999年上海文科理科12）在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相就奪：在等此數(shù)列中，若，則有等式                 成立。

【解答】

【評(píng)析】這是第一次出類比數(shù)學(xué)思想的高考試題，是否得當(dāng)，當(dāng)年?duì)幾h頗大；結(jié)論是繼續(xù)實(shí)驗(yàn)。

（2001年全國理3）設(shè)｛a_n｝是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是 (   )

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 6

【答案】B

【評(píng)析】該題太容易，基本上是白送分的題，當(dāng)年的實(shí)際難度為0.96,區(qū)分度為0.174；沒有將學(xué)生成績區(qū)分出來

    （2001年全國理17、文19，廣東19，天津山西江西乙20）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．

(Ⅰ)求四棱錐S―ABCD的體積；

    (Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

【解答】（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是M_底面，            

∴ 四棱錐S―ABCD的體積是 M_底面    ．            

（Ⅱ）延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE則SE是所求二面角的棱．

∵ AD∥BC，BC = 2AD，∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交線，

又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．                 

∵ ，BC =1，BC⊥SB，

∴ tan∠BSC ．即所求二面角的正切值為．          

【評(píng)析】該題是一個(gè)好題，但是與1994年上海高考試題太過類似：如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=a，AD=3a，且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,求

⑴二面角P-CD-A的大�。ㄓ梅慈�角表示）⑵點(diǎn)A到平面PBC的距離。有抄襲之嫌，分析會(huì)議上，也說出了“誰說考過的就不能再考”的觀點(diǎn)。而文科實(shí)際難度為0.175,區(qū)分度為0.548.

   （2001年全國理20） 已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n．     (Ⅰ)證明；(Ⅱ)證明(1＋m) ⁿ＞ (1＋n) ^m．

【解答】（Ⅰ）證明： 對(duì)于1＜i≤m有= m?…?(m－i＋1)，           …，     同理 …，                     

    由于 m＜n，對(duì)整數(shù)k = 1，2…，i－1，有，

所以 ，即．                  

（Ⅱ）證明由二項(xiàng)式定理有，                           ，由 (Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n)，而 ，，                               所以， (1＜i≤m＜n)．因此，．

又 ，，．

∴ ．即 (1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m．         

【評(píng)析】該題命題從排列組合二項(xiàng)式定理同時(shí)以大題形式出現(xiàn)，考了冷門，當(dāng)年《考試說明》排列組合的證明只是了解層次，預(yù)估難度0.5，實(shí)際則是0.141,區(qū)分度為0.464.之后形成定格：排列組合二項(xiàng)式定理以小題形式考，而且一般出此不出彼的格局；同時(shí)，也臺(tái)出形成了“遵循考試說明（大綱），但有不拘泥于大綱的政策”。

（2001年理文科12,廣東12天津山西江西12，）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)．連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞．則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為                                                     (    )

(A) 26

(B) 24

(C) 20

(D) 19

【解答】D

【評(píng)析】這一題，許多文科生沒有讀懂就下手做，預(yù)估文理課差不多的情況，但實(shí)際是文科難度為0.175,區(qū)分度為0.097.，大多數(shù)文科生不會(huì)。在分析報(bào)告種，再度強(qiáng)調(diào)了“要體現(xiàn)文理科的差異”。

（2001年上海11）已知兩個(gè)圓：x²+y²=1①與x²+(y－3)²=1②，則又①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線的情況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為                   .

【解答】設(shè)圓方程(x－a)²+(y－b)²=r²  ①   (x－c)²+(y－d)²=r²  ②（a≠c或b≠d），由①－②，得兩圓的對(duì)稱軸方程.

  【解析】這是1999年類比的延續(xù)試驗(yàn)，該題基本上白送分，沒有區(qū)分度。

（2002年北京理9）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有

A．種B．種    C．種  D．種

【解答】A

【評(píng)析】這是重蹈歷史覆轍不該以這種形式出現(xiàn)的題。每換一幫人出題，總會(huì)出現(xiàn)這種重蹈歷史覆轍的情況。

【說明】該階段試題以省市為主的自主招生為主，并逐步向“高校自主招生試題”轉(zhuǎn)移，以《考試大綱》代替了原來的《考試說明》，這一階段的敗題主要體現(xiàn)為“不嚴(yán)密”或“考察意圖失落”

（2003年江蘇1）如果函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)平面上的區(qū)域（不包含邊界）為（    ）

【答案】C

【評(píng)析】該題不嚴(yán)格，關(guān)鍵在于a≠0對(duì)應(yīng)圖形中不應(yīng)包含b軸；此題在當(dāng)年?duì)幷摲浅４�，甚至有一部分全國知名院士參予說“題出錯(cuò)”，搞得沸沸揚(yáng)揚(yáng)，甚至驚動(dòng)國家領(lǐng)導(dǎo)人批示“妥善處理此”�，F(xiàn)在看來，題出得不嚴(yán)格是個(gè)弱點(diǎn)，但對(duì)該題得選擇不產(chǎn)生致命影響。通過該題產(chǎn)生了“教師成長的關(guān)鍵是什么？”的全國性大討論。

（2003年江蘇5，天津理4文8）是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡一定通過的

       （A）外心               （B）內(nèi)心               （C）重心               （D）垂心

【答案】B

【評(píng)析】當(dāng)年《考試大綱》對(duì)于平面向量得基本定理是“了解”層次，當(dāng)該題一致拔高到應(yīng)用層次，屬于把握不當(dāng)出現(xiàn)的命題失誤。

（2003年江蘇8，遼寧9，天津理7）設(shè)，曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為到曲線對(duì)稱軸距離的取值范圍為   （    ）

   （A）        （B）      （C）       （D）

【解答】B

【評(píng)析】該題需要多想多算，諸多能力聚于一題，突破了常規(guī)，單就題本身而言是一個(gè)好題，但突破常規(guī)的題一多，就顯得整體試卷太過艱難。說白了，沒有處理好研究與命題的關(guān)系。類似題有：（2003年遼寧11，全國理10文11，天津理10文11）已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P₂，P₃和P₄（入射角等于反射角）. 設(shè)P₄的坐標(biāo)為（x₄，0），若_，

則的取值范圍是                    （    ）

   A．（，1）        B．        C．         D．

（2003年江蘇9，全國7，天津理8）已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的的等差數(shù)列，

則（     ）   （A）1        （B）      （C）       （D）

【解答】C

【評(píng)析】該題非�；睿�活得基本上學(xué)生思考不到，從而做不出。競賽性質(zhì)非常濃厚。引起人們對(duì)高考命題是該與競賽題一樣的“深挖洞”，還是“廣積糧”的思考。

   （2003年江蘇20，遼寧22，天津理21文22）已知常數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)O以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)為方向向量的直線相交于P，其中試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得為定值若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

【解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)

（Ⅲ）當(dāng)方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).

【評(píng)析】該題將向量與解析幾何結(jié)合在一起，是當(dāng)年“將向量當(dāng)作工具使用”下的結(jié)構(gòu)，但是無論向量還是解析幾何都考查了一定的深度。結(jié)論：如果用廣積糧的“串門”思路命題，不能每點(diǎn)都考查到一定深度！

（2003年江蘇21）已知為正整數(shù)

（Ⅰ）設(shè)，證明；

（Ⅱ）設(shè)，對(duì)任意，證明

【解答】證明：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

所以

（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù):

∴

即對(duì)任意

【評(píng)析】該題特別新穎，命題者銳意創(chuàng)新，坡度設(shè)置也太陡，而忽略了求穩(wěn)，過多的閃光點(diǎn)出現(xiàn)學(xué)生根本無法適應(yīng)的結(jié)果。

（2003年上海春招16）關(guān)于函數(shù)，有下面四個(gè)結(jié)論：

(1) 是奇函數(shù)   (2)當(dāng)時(shí), 恒成立

(3) 的最大值是   (4) 的最小值是

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(    ).

(A) 1個(gè)      (B)2個(gè)      (C)3個(gè)      (D)4個(gè)

【解答】A

【評(píng)析】該題抽象程度太高，以致于沒有幾個(gè)人答對(duì)，就算答對(duì)者，也是隨機(jī)成分比較大，此題沒有考慮到學(xué)生的實(shí)際。

 （2004年湖北理8）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和其中a、b是非零常數(shù)，則存在數(shù)列{}、{}使得（    ）

       A．為等差數(shù)列，{}為等比數(shù)列

       B．和{}都為等差數(shù)列

       C．為等差數(shù)列，{}都為等比數(shù)列

D．和{}都為等比數(shù)列

【答案】C

（2004年湖北文12）設(shè)是某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

12

15.1

12.1

9.1

11.9

14.9

11.9

8.9

12.1

       經(jīng)長期觀觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.在下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)（     ）

       A．      B．

       C．      D．

【解答】A

【評(píng)析】該題是課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)例題，雖然方向是向課程標(biāo)準(zhǔn)傾斜，但并不是照抄課程標(biāo)準(zhǔn)。

（2004年全國Ⅰ（河北、河南、山東、山西、安徽、江西卷）理19）已知求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【解答】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：

（I）當(dāng)a=0時(shí)，若x<0，則<0，若x>0,則>0.

所以當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).

（II）當(dāng)

 由

所以，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，－）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（－，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；

（III）當(dāng)a<0時(shí)，由2x+ax²>0，解得0<x<－,

由2x+ax²<0，解得x<0或x>－.

所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，－）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（－，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

（2004年浙江理文12）若和g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實(shí)數(shù)解，則不可能是

  （A）   （B）    （C）   （D）

【解答】B

【評(píng)析】該題一般的用逆推加數(shù)形結(jié)合方法選出，這樣使從道理上說明的意圖失落。

（2005年北京理7）北京《財(cái)富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為

    （A）      （B）  （C）  （D）

【解答】C

【評(píng)析】該題又是重蹈歷史覆轍的題目，類似有北京文8“五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有（A）種    （B）種   （C）種  （D）種”，遼寧3“設(shè)袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為（    ）

       A．           B．           C．           D．”

（2005年福建理12）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是

       A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

【評(píng)析】解至少有1，1.5,2,3,4,4.5,5七個(gè)，該題是一個(gè)錯(cuò)題，原答案為D。這是人們認(rèn)識(shí)到“教師成長一靠專業(yè)化水平，二靠認(rèn)真的態(tài)度”。

(2005年湖南理12)在（1＋x）＋（1＋x）²＋……＋（1＋x）⁶的展開式中，x ²項(xiàng)的系數(shù)是　　　　.（用數(shù)字作答）

【解答】35

【評(píng)析】該題是一個(gè)老題，而且多數(shù)參考資料上有此原題，抄襲原題對(duì)于高考而言不是一件好事。

（2006年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題8）在所有定周長的空間四邊形ABCD中，求對(duì)角線AC+BD的最大值，并證明

【評(píng)析】由于三角形ABD可以繞著對(duì)角線BD隨意旋轉(zhuǎn)，空間四邊形的周長都不變，對(duì)角線AC沒有最大值，故AC+BD也沒有最大值。該題是一個(gè)錯(cuò)題。該題在國外引起的反響比較大，國內(nèi)由于參加考試的人數(shù)比較少，沒有形成大的影響。這使近年“教師的成長一在于自己的水平，二在于認(rèn)真的態(tài)度，但更側(cè)重于后者”的觀點(diǎn)再次得到驗(yàn)證。

（2006年浙江文理17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，， 底面，且，分別為、的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：；

       （Ⅱ）求與平面所成的角。

【解答】方法一：

（Ⅰ）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA=AB,

所以AN⊥PB.

因?yàn)锳D⊥面PAB,所以AD⊥PB.從而PB⊥平面ADMN.

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）連結(jié)DN，因?yàn)镻B⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD與平面ADMN所成的角.

在中,故BD與平面ADMN所成的角是.

方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立右手空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=1，則

（Ⅰ）因?yàn)?sub>

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）因?yàn)?sub>所以PB⊥AD.又PB⊥DM.因此的余角即是BD與平面ADMN.所成的角.因?yàn)?sub>所以=

因此BD與平面ADMN所成的角為.

【評(píng)析】該題是一個(gè)老題，1994年上海高考出過，2001年全國高考也出過，再次出現(xiàn)不太妥當(dāng)。

（2006湖北文理第10題）關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；

其中假命題的個(gè)數(shù)是

A．0    B．1    C．2    D．3

解：設(shè)|x²-1|=t,則k=-t²+t,作出二者的圖像如圖

k>時(shí)，t無解，對(duì)應(yīng)的x無解；k=時(shí)，t=,對(duì)應(yīng)的x有四個(gè)解；0<k<時(shí)，t有兩個(gè)大于0小于1的解，對(duì)應(yīng)的x有四個(gè)解；k=0時(shí)，t=0或t=1,對(duì)應(yīng)的x分別有兩個(gè)、三個(gè)解；k<0時(shí)，t有一個(gè)大于1的解，對(duì)應(yīng)的x有兩個(gè)解。選B

該題當(dāng)年出現(xiàn)爭議，爭議的核心是t=1時(shí)，有三個(gè)解還是四個(gè)解（四個(gè)解是一正、一負(fù)、再有兩個(gè)等解0），本身就是不嚴(yán)格的，因此這種題一般不選，或者加以改造，如改造為：“關(guān)于的方程，存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有m個(gè)不同的實(shí)根；指出m的取值范圍集合”，以使無有異議。但有爭議的問題在高考試題中出現(xiàn)，怎么說也不能算作好題。

（2008年山東）函數(shù)y＝lncosx(-＜x＜的圖象是

（２００８山東）已知函數(shù)f(x)=log_a(2^x+b－1)(a＞0,a1)的圖象如圖所示，則a,b滿足的關(guān)系是

(A)0＜a^－1＜b＜1   (B)0＜b＜a^－1＜1   (C) 0＜b^－1＜a＜1     (D)       0＜a^－1＜b^－1＜1

【評(píng)析]】這兩個(gè)題與課程標(biāo)準(zhǔn)中復(fù)合函數(shù)限于f(ax+b)的要求相悖，而當(dāng)年山東是新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)區(qū)之一

（2008廣東理）設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若，，求的前項(xiàng)和．

（2008廣東文）設(shè)數(shù)列滿足，，（n = 3，4，…）。數(shù)列滿足， （n = 2，3，…）是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有－1≤…≤1。（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記（n = 1，2，…），求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【評(píng)析】遞推數(shù)列在新課標(biāo)及教材中提都不提的內(nèi)容，出現(xiàn)大的命題，不太妥當(dāng)。而在此之前，廣東的考試說明也稱遞推數(shù)列限于a_n=αa_n-1+β的形式。

以上兩題引起廣泛爭議，促使課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂重新出臺(tái)。