題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
為了了解某市工人開展體育活動的情況,擬采用分層抽樣的方法從A,B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查,已知A,B,C區(qū)中分別有18,27,18個工廠
(Ⅰ)從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比,計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率.
【解析】本試題主要考查了統(tǒng)計和概率的綜合運用。
第一問工廠總數(shù)為18+27+18=63,樣本容量與總體中的個體數(shù)比為7/63=1/9…3分
所以從A,B,C三個區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個數(shù)為2,3,2。
第二問設(shè)A1,A2為在A區(qū)中的抽得的2個工廠,B1,B2,B3為在B區(qū)中抽得的3個工廠,
C1,C2為在C區(qū)中抽得的2個工廠。
這7個工廠中隨機的抽取2個,全部的可能結(jié)果有1/2*7*6=32種。
隨機的抽取的2個工廠至少有一個來自A區(qū)的結(jié)果有A1,A2),A1,B2),A1,B1),
A1,B3)A1,C2),A1,C1), …………9分
同理A2還能給合5種,一共有11種。
所以所求的概率為p=11/21
如圖9所示,C、D、E在一條直線上.
因為∠1=130°(已知),
所以∠2=50°(_________).
又因為∠A=50°(已知),
所以∠2=∠A(_________).
所以AB∥CD(____________).
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