題目列表(包括答案和解析)
△ABC中,內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,其對(duì)邊a、b、c滿足,求A。
【解析】本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用,
因?yàn)?/p>
【點(diǎn)評(píng)】該試題從整體來看保持了往年的解題風(fēng)格,依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換,結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí),以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的問題。試題整體上比較穩(wěn)定,思路也比較容易想,先將利用等差數(shù)列得到角B,然后利用余弦定理求解運(yùn)算得到A。
已知拋物線C:與圓有一個(gè)公共點(diǎn)A,且在A處兩曲線的切線與同一直線l
(I) 求r;
(II) 設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線,m、n的交點(diǎn)為D,求D到l的距離。
【解析】本試題考查了拋物線與圓的方程,以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用,并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線的距離。
【點(diǎn)評(píng)】該試題出題的角度不同于平常,因?yàn)樯婕暗氖莾蓚(gè)二次曲線的交點(diǎn)問題,并且要研究兩曲線在公共點(diǎn)出的切線,把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來,是該試題的創(chuàng)新處。另外對(duì)于在第二問中更是難度加大了,出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線,這樣的問題對(duì)于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個(gè)需要練習(xí)的方向。
某商店投入38萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品,經(jīng)銷時(shí)間共60天,為了獲得更多的利潤,商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中,市場(chǎng)調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第天的利潤(單位:萬元,),記第天的利潤率,例如
【小題1】求的值;
【小題2】求第天的利潤率;
【小題3】該商店在經(jīng)銷此紀(jì)品期間,哪一天的利潤率最大?并求該天的利潤率。
設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的個(gè)不同的點(diǎn)().
(1) 當(dāng)時(shí),試寫出拋物線上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時(shí),若,
求證:;
(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究:
① 試構(gòu)造一個(gè)說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評(píng)分說明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
第三問中①取時(shí),拋物線的焦點(diǎn)為,
設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
;
所以.
(3) ①取時(shí),拋物線的焦點(diǎn)為,
設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個(gè)當(dāng)時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,
由及拋物線的定義得
,即.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)()滿足 ”,即:
“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)()滿足,則”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè),
分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,
及拋物線的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱”,即:
“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱,則”.此命題為真.(證略)
在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題,每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)是正確的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“每題只選一項(xiàng),答對(duì)得5分,不答或答錯(cuò)得0分”.某考生每道題都給出一個(gè)答案, 且已確定有7道題的答案是正確的,而其余題中,有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生:
(1)選擇題得滿分(50分)的概率;
(2)選擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。
【解析】第一問總利用獨(dú)立事件的概率乘法公式得分為50分,10道題必須全做對(duì).在其余的3道題中,有1道題答對(duì)的概率為,有1道題答對(duì)的概率為,還有1道答對(duì)的概率為,
所以得分為50分的概率為:
第二問中,依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50}
得分為35分表示只做對(duì)了7道題,其余各題都做錯(cuò),
所以概率為
得分為40分的概率為:
同理求得,得分為45分的概率為:
得分為50分的概率為:
得到分布列和期望值。
解:(1)得分為50分,10道題必須全做對(duì).在其余的3道題中,有1道題答對(duì)的概率為,有1道題答對(duì)的概率為,還有1道答對(duì)的概率為,
所以得分為50分的概率為: …………5分
(2)依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50} …………6分
得分為35分表示只做對(duì)了7道題,其余各題都做錯(cuò),
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為: …………8分
同理求得,得分為45分的概率為: …………9分
得分為50分的概率為: …………10分
所以得分的分布列為
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
數(shù)學(xué)期望
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