題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿(mǎn)足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).
【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.
(Ⅰ)證明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小
【解析】解法一:因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BDAC,又
如圖,已知點(diǎn),圓是以為直徑的圓,直線,(為參數(shù)).
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,當(dāng)變化時(shí),求點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.
【解析】(1)圓C的普通方程為, (2’)
極坐標(biāo)方程為。 (4’)
(2)直線l的普通方程為, (5’)
點(diǎn) (7’)
(9’)
點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程為,圖形為圓
三菱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等, BAA1=CAA1=60°
則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)___________.
【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長(zhǎng)為1,則,因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,且所以,所以, ,,設(shè)異面直線的夾角為,所以.
已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),且不在軸上,軸,垂足為,線段中點(diǎn)的軌跡為曲線,過(guò)定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點(diǎn)。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分
【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問(wèn)中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).
然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當(dāng)時(shí),(*)對(duì)任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分
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