題目列表(包括答案和解析)
若的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等,則該展開式中的系數(shù)為_________.
【解析】因為展開式中的第3項和第7項的二項式系數(shù)相同,即,所以,所以展開式的通項為,令,解得,所以,所以的系數(shù)為.
設數(shù)列的各項均為正數(shù).若對任意的,存在,使得成立,則稱數(shù)列為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列是“J2型”數(shù)列,且,,求;
(2)若數(shù)列既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.
【解析】1)中由題意,得,,,,…成等比數(shù)列,且公比,
所以.
(2)中證明:由{}是“j4型”數(shù)列,得,…成等比數(shù)列,設公比為t. 由{}是“j3型”數(shù)列,得
,…成等比數(shù)列,設公比為;
,…成等比數(shù)列,設公比為;
…成等比數(shù)列,設公比為;
已知正項數(shù)列的前n項和滿足:,
(1)求數(shù)列的通項和前n項和;
(2)求數(shù)列的前n項和;
(3)證明:不等式 對任意的,都成立.
【解析】第一問中,由于所以
兩式作差,然后得到
從而得到結論
第二問中,利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中,
又
結合放縮法得到。
解:(1)∵ ∴
∴
∴ ∴ ………2分
又∵正項數(shù)列,∴ ∴
又n=1時,
∴ ∴數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列……………3分
∴ …………………4分
∴ …………………5分
(2) …………………6分
∴
…………………9分
(3)
…………………12分
又
,
∴不等式 對任意的,都成立.
設函數(shù)f(x)=在[1,+∞上為增函數(shù).
(1)求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)比較的大小,說明理由;
(3)求證:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一問中,利用
解:(1)由已知:,依題意得:≥0對x∈[1,+∞恒成立
∴ax-1≥0對x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上為增函數(shù),
∴n≥2時:f()=
(3) ∵ ∴
已知是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?請說明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq0)對任意m存在k,有,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個連續(xù)p項的和式數(shù)列中的一項,請證明.
【解析】第一問中,由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)中當時,則
即,其中是大于等于的整數(shù)
反之當時,其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)中設當為偶數(shù)時,式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當為偶數(shù)時,式不成立。由式得,整理
當時,符合題意。當,為奇數(shù)時,
結合二項式定理得到結論。
解(1)由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)當時,則即,其中是大于等于的整數(shù)反之當時,其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)設當為偶數(shù)時,式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當為偶數(shù)時,式不成立。由式得,整理
當時,符合題意。當,為奇數(shù)時,
由,得
當為奇數(shù)時,此時,一定有和使上式一定成立。當為奇數(shù)時,命題都成立
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