證:略[評析]這個題當時答案是用坐標法的距離公式證明的.但是距離公式是由勾股定理推導出的.因而形成“因為A--所以A 的循環(huán)論證錯誤.而得出一般用拼圖法得到,拼圖法能否算作證明還在爭論中.但當年多數(shù)省市按錯對待.結(jié)論:數(shù)形結(jié)合的方法得到的結(jié)論不能以證明題的形式出現(xiàn). 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

(1) 當時,試寫出拋物線上的三個定點、的坐標,從而使得

(2)當時,若,

求證:;

(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),

分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點為

設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;;

解:(1)拋物線的焦點為,設(shè)

分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以,

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點為,

設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;;,

,

.

,,是一個當時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過

拋物線的準線的垂線,垂足分別為,

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則

,

,所以.

(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

③ 補充條件1:“點的縱坐標)滿足 ”,即:

“當時,若,且點的縱坐標)滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),

分別過作拋物線準線的垂線,垂足分別為,由

及拋物線的定義得,即,則

又由,所以,故命題為真.

補充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

“當時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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(本小題滿分12分)

有編號為,,…的10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):


其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品。

(Ⅰ)從上述10個零件中,隨機抽取一個,求這個零件為一等品的概率;

(Ⅱ)從一等品零件中,隨機抽取2個.

     (。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y(jié)果;

     (ⅱ)求這2個零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分

【解析】(Ⅰ)解:由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個.設(shè)“從10個零件中,隨機抽取一個為一等品”為事件A,則P(A)==.

      (Ⅱ)(i)解:一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個,所有可能的結(jié)果有:,,,

,,,共有15種.

      (ii)解:“從一等品零件中,隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:,,共有6種.

      所以P(B)=.

(本小題滿分12分)

如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ADEF是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.

(Ⅰ)求異面直線CE與AF所成角的余弦值;      

(Ⅱ)證明CD⊥平面ABF;

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(本小題滿分12分)

有編號為,,…的10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):


其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品。

(Ⅰ)從上述10個零件中,隨機抽取一個,求這個零件為一等品的概率;

(Ⅱ)從一等品零件中,隨機抽取2個.

     (。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y(jié)果;

     (ⅱ)求這2個零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分

【解析】(Ⅰ)解:由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個.設(shè)“從10個零件中,隨機抽取一個為一等品”為事件A,則P(A)==.

      (Ⅱ)(i)解:一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個,所有可能的結(jié)果有:,,,

,,,共有15種.

      (ii)解:“從一等品零件中,隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:,,共有6種.

      所以P(B)=.

(本小題滿分12分)

如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ADEF是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.

(Ⅰ)求異面直線CE與AF所成角的余弦值;      

(Ⅱ)證明CD⊥平面ABF;

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已知數(shù)列滿足,

(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列的通項和前n項和

【解析】第一問中,利用,得到從而得證

第二問中,利用∴ ∴分組求和法得到結(jié)論。

解:(1)由題得 ………4分

                    ……………………5分

   ∴數(shù)列是以2為公比,2為首項的等比數(shù)列;   ……………………6分

(2)∴                                  ……………………8分

     ∴                                  ……………………9分

     ∴

 

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((本小題共13分)

若數(shù)列滿足,數(shù)列數(shù)列,記=.

(Ⅰ)寫出一個滿足,且〉0的數(shù)列;

(Ⅱ)若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011;

(Ⅲ)對任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由。

【解析】:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5

(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5

(Ⅱ)必要性:因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列,所以.所以A5是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由于a2000—a10001,a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999,即a2000a1+1999.又因為a1=12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證。

 

 

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