因?yàn)樗詘1-x>0.1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

請閱讀下列材料:對命題“若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a12+a22=1,那么a1+a2
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.”證明如下:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a12+(x-a22,因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,又f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,從而得4(a1+a22-8≤0,所以a1+a2
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.根據(jù)上述證明方法,若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a12+a22+…+an2=1時(shí),你可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=
 
,進(jìn)一步能得到的結(jié)論為
 
.(不必證明)

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已知

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:當(dāng)時(shí),恒成立;

(3)任取兩個(gè)不相等的正數(shù),且,若存在使成立,證明:

【解析】(1)g(x)=lnx+,=        (1’)

當(dāng)k0時(shí),>0,所以函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,+),無減區(qū)間;

當(dāng)k>0時(shí),>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增區(qū)間(k,+)減區(qū)間為(0,k)(3’)

(2)設(shè)h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當(dāng)x變化時(shí),h(x),的變化情況如表

x

1

(1,e)

e

(e,+)

 

0

+

h(x)

e-2

0

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    (5’)

設(shè)G(x)=lnx-(x1) ==0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),=0所以G(x) 為減函數(shù), 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當(dāng)x1時(shí), 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx0+1==∴l(xiāng)nx0=-1      ∴l(xiāng)nx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設(shè)H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數(shù),并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵=

∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x0 >x

 

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請閱讀下列材料:對命題“若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a12+a22=1,那么.”
證明如下:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a12+(x-a22,因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,
又f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,從而得4(a1+a22-8≤0,所以
根據(jù)上述證明方法,若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a12+a22+…+an2=1時(shí),你可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=    ,進(jìn)一步能得到的結(jié)論為    .(不必證明)

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請閱讀下列材料:對命題“若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a12+a22=1,那么數(shù)學(xué)公式.”
證明如下:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a12+(x-a22,因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,
又f(x)=2x2-2(a1+a2)x+1,從而得4(a1+a22-8≤0,所以數(shù)學(xué)公式
根據(jù)上述證明方法,若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a12+a22+…+an2=1時(shí),你可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=________,進(jìn)一步能得到的結(jié)論為________.(不必證明)

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設(shè)不等邊三角形ABC的外心與重心分別為M、G,若A(-1,0),B(1,0)且MG//AB.

(Ⅰ)求三角形ABC頂點(diǎn)C的軌跡方程;

(Ⅱ)設(shè)頂點(diǎn)C的軌跡為D,已知直線過點(diǎn)(0,1)并且與曲線D交于P、N兩點(diǎn),若O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足OP⊥ON,求直線的方程.

【解析】

第一問因?yàn)樵O(shè)C(x,y)(

……3分

∵M(jìn)是不等邊三解形ABC的外心,∴|MA|=|MC|,即(2)

由(1)(2)得.所以三角形頂點(diǎn)C的軌跡方程為.…6分

第二問直線l的方程為y=kx+1

y。 ∵直線l與曲線D交于P、N兩點(diǎn),∴△=

,

,∴

得到直線方程。

 

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