已知拋物線C：與圓有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線與同一直線l

（I）     求r；

（II）   設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離。

【解析】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個曲線的公共點處的切線的運用，并在此基礎(chǔ)上求解點到直線的距離。

【點評】該試題出題的角度不同于平常，因為涉及的是兩個二次曲線的交點問題，并且要研究兩曲線在公共點出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對于在第二問中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個需要練習(xí)的方向。

△ABC中，內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其對邊a、b、c滿足，求A。

【解析】本試題主要考查了解三角形的運用，

因為

【點評】該試題從整體來看保持了往年的解題風(fēng)格，依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換，結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的問題。試題整體上比較穩(wěn)定，思路也比較容易想，先將利用等差數(shù)列得到角B，然后利用余弦定理求解運算得到A。

某商店投入38萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品，經(jīng)銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中，市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第天的利潤（單位：萬元，），記第天的利潤率，例如
【小題1】求的值；
【小題2】求第天的利潤率；
【小題3】該商店在經(jīng)銷此紀(jì)品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率。

在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：

（1）選擇題得滿分(50分)的概率；

（2）選擇題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望。

【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，

所以得分為50分的概率為：

第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝         

得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，

所以概率為                            

得分為40分的概率為： 

同理求得，得分為45分的概率為： 

得分為50分的概率為：

得到分布列和期望值。

解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，

所以得分為50分的概率為：                   …………5分

（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝            …………6分

得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，

所以概率為                              …………7分

得分為40分的概率為：     …………8分

同理求得，得分為45分的概率為：                     …………9分

得分為50分的概率為：                      …………10分

所以得分的分布列為

數(shù)學(xué)期望

設(shè)點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當(dāng)時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當(dāng)時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過作

拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達(dá)式與點的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標(biāo)（）滿足 ”，即：

“當(dāng)時，若，且點的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設(shè)，

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：

“當(dāng)時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）