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題目列表(包括答案和解析)

電視中有一檔互動節(jié)目,觀眾參與后,幸運觀眾可以獲得一次抽獎機會,抽獎規(guī)則如下:在抽獎臺上有A、B、C三個抽獎箱,其中有且僅有一個抽獎箱中有獎品,如果觀眾選中有獎品的箱子,就可以獲得獎品;不過,當觀眾第一次選擇后(不妨假設觀眾選擇A箱),主持人會打開余下兩個箱子中的某一個(當然是沒有獎品的,不妨設主持人打開了C箱),然后告訴幸運觀眾可以改變自己的選擇,即可以放棄A箱而選擇B箱.一般情況下,觀眾認為:此時A與B有無獎品的概率都是二分之一,故一般都不改變選擇,這樣做合理嗎?如果你是那位幸運觀眾,你會做怎樣的選擇呢?

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設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.

(Ⅰ)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;

(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有  ①

,得

,可得,代入①并整理得

由于,故.于是,所以橢圓的離心率

(2)證明:(方法一)

依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.

由條件得消去并整理得  ②

,

.

整理得.而,于是,代入②,

整理得

,故,因此.

所以.

(方法二)

依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.

由P在橢圓上,有

因為,所以,即   ③

,,得整理得.

于是,代入③,

整理得

解得

所以.

 

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對命題“abc推出ac”,關于真假問題,甲、乙兩個學生的判斷如下:甲生判斷是真命題.理由是:由ab可知ab的方向相同或相反,由bc可知cb的方向相同或相反,從而有ac的方向相同或相反,故ac,即原命題為真命題;乙生判斷是假命題.理由是:當兩個非零向量a,c不平行,而b=0時,顯然abbc,但不能推出abc,故此時結(jié)論不成立,即原命題為假命題.究竟甲、乙兩生誰的判斷正確呢?請給以分析.

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已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中

(Ⅰ) 求的通項公式;

(Ⅱ) 設 (N*).

①證明:

② 求證:.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于

所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

解:(Ⅰ)當時,由.  ……2分

若存在,

從而有,與矛盾,所以.

從而由.  ……6分

 (Ⅱ)①證明:

證法一:∵

 

.…………10分

證法二:,下同證法一.           ……10分

證法三:(利用對偶式)設,

.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即

                    ………10分

證法四:(數(shù)學歸納法)①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

故當時,命題成立.

綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

②由于

所以,

從而.

也即

 

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已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列,且滿足.

(1)   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項公式;

(2)   若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……,余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列,試寫出數(shù)列的通項公式;

(3) 在(2)的條件下,設數(shù)列的前項和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

【解析】第一問中解:由,,

又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,

,所以p=1

故數(shù)列為首項是2,公比為2的等比數(shù)列,即.

此時也滿足,則所求常數(shù)的值為1且

第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:

(i)當時,;

(ii) 當時,,

所以

第三問假設存在正整數(shù)n滿足條件,則,

則(i)當時,

,

 

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