題目列表(包括答案和解析)
【練】
(1)(2005高考北京卷)已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a, (I)求f(x)的單調遞減區(qū)間;(II)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.答案:(1)(-∞,-1),(3,+∞)(2)-7
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調遞減;當時單調遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. 、
令則
當時,單調遞增;當時,單調遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質進行分析判斷.
已知集合A= 、B=分別為函數(shù)f(x)的定義域和值域,且, 則實數(shù)m的取值范圍是【 】.
A. B. C. D.
已知函數(shù),,k為非零實數(shù).
(Ⅰ)設t=k2,若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調性相同,求k的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在正實數(shù)k,都能找到t∈[1,2],使得關于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數(shù)根,且在[-5,-1]上至多有一個實數(shù)根.若存在,請求出所有k的值的集合;若不存在,請說明理由.
【解析】本試題考查了運用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性,并求解參數(shù)的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題,轉化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數(shù)學思想的運用。
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