2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測卷
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至2頁,第II卷3至9頁.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答題前,考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、填寫清楚 ,并貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.
2.每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.
3.本卷共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
參考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立,那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么
次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.函數(shù)的定義域為( )
A. B.
C. D.
2.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù),其圖像可能是( )
3.已知,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
4.復(fù)數(shù) ( )
A.2 B.-
5.已知數(shù)列對任意的滿足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
6.若,則( )
A.<< B.<< C. << D. <<
7.設(shè)P為曲線C:上的點,且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為,則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
8.函數(shù)的最小值和最大值分別為( )
A. -3,1 B.
-2,
9.定義在上的函數(shù)滿足(),,則等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
10.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
11.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
12.如圖,一環(huán)形花壇分成四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為( )
A.96 B.84 C.60 D.48
2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測卷
第Ⅱ卷
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上
13.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M,使函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是
14.過雙曲線的右頂點為A,右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則△AFB的面積為______________
15.已知雙曲線的離心率是。則=
16.已知,為空間中一點,且,則直線與平面所成角的正弦值為 。
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
(注意:在試題卷上作答無效)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
18.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
如圖,在四棱錐中,底面四邊長
為1的菱形,, , ,為的中點,為的中點
(Ⅰ)證明:直線;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大;
(Ⅲ)求點B到平面OCD的距離。
19.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
設(shè)函數(shù)為實數(shù)。
(Ⅰ)已知函數(shù)在處取得極值,求的值;
(Ⅱ)已知不等式對任意都成立,求實數(shù)的取值范圍。
20.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2。根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為
X1
5%
10%
X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元,Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差DY1、DY2;
(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,100-x萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值,并指出x為何值時,f(x)取到最小值。 (注:D(aX + b) = a2DX)
21.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是,一條漸近線的方程是.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
數(shù)列的前項和為,已知
(Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式,并求關(guān)于的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項和。
2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測卷
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至2頁,第II卷3至9頁.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答題前,考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、填寫清楚 ,并貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.
2.每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.
3.本卷共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
參考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立,那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么
次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.函數(shù)的定義域為
A. B.
C. D.
解:函數(shù)的定義域必須滿足條件:
2.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù),其圖像可能是( )
解:A. 根據(jù)汽車加速行駛,勻速行駛,減速行駛結(jié)合函數(shù)圖像可知;
3.已知,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是
(A)1 (B)2 (C) (D)
解析:本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運算問題。
展開
則的最大值是;
或者利用數(shù)形結(jié)合, ,對應(yīng)的點A,B在圓上,
對應(yīng)的點C在圓上即可.
4.復(fù)數(shù) ( )
A.2 B.-2 C. D.
【標(biāo)準(zhǔn)答案】:A。
【試題解析】:
5.已知數(shù)列對任意的滿足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
【標(biāo)準(zhǔn)答案】: C
【試題分析】: 由已知=+= -12,=+=-24,=+= -30
【高考考點】: 數(shù)列
【易錯提醒】: 特殊性的運用
【備考提示】: 加強從一般性中發(fā)現(xiàn)特殊性的訓(xùn)練。
6.若,則( )
A.<< B.<< C. << D. <<
【解析】由,令且取知<<
【答案】C
7.設(shè)P為曲線C:上的點,且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為,則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率問題。依題設(shè)切點的橫坐標(biāo)
為, 且(為點P處切線的傾斜角),又∵,
∴,∴
8.函數(shù)的最小值和最大值分別為( )
A. -3,1 B. -2,2 C. -3, D. -2,
【標(biāo)準(zhǔn)答案】:C
【試題解析】:∵
∴當(dāng)時,,當(dāng)時,;故選C;
【高考考點】三角函數(shù)值域及二次函數(shù)值域
【易錯點】:忽視正弦函數(shù)的范圍而出錯。
【備考提示】:高考對三角函數(shù)的考查一直以中檔題為主,只要認(rèn)真運算即可。
9.定義在上的函數(shù)滿足(),,則等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
解:令,令;
令得
10.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【解析】.D.由奇函數(shù)可知,而,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,,又在上為增函數(shù),則奇函數(shù)在上為增函數(shù),.
11.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
解:C.由題意知三棱錐為正四面體,設(shè)棱長為,則,棱柱的高(即點到底面的距離),故與底面所成角的正弦值為.
另解:設(shè)為空間向量的一組基底,的兩兩間的夾角為
長度均為,平面的法向量為,
則與底面所成角的正弦值為.
12.如圖,一環(huán)形花壇分成四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為( )
A.96 B.84 C.60 D.48
解析:B.分三類:種兩種花有種種法;種三種花有種種法;
種四種花有種種法.共有.
另解:按順序種花,可分同色與不同色有
2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)預(yù)測卷
第Ⅱ卷
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上
13.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M,使函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是
解:區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形(如圖)
顯然,只需研究過、兩種情形,
且即
14.過雙曲線的右頂點為A,右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則△AFB的面積為______________
解:雙曲線的右頂點坐標(biāo),右焦點坐標(biāo),設(shè)一條漸近線方程為,
建立方程組,得交點縱坐標(biāo),從而
15.已知雙曲線的離心率是。則=
解:,離心率,所以
16.已知,為空間中一點,且,則直線與平面所成角的正弦值為 。
解:由對稱性點在平面內(nèi)的射影必在的平分線上作于,連結(jié)則由三垂線定理,
設(shè),又,所以,因此直線與平面所成角的正弦值
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
(注意:在試題卷上作答無效)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
解:(Ⅰ).
的最小正周期.
當(dāng)時,取得最小值;當(dāng)時,取得最大值2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又.
.
.函數(shù)是偶函數(shù).
18.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
如圖,在四棱錐中,底面四邊長
為1的菱形,, , ,為的中點,為的中點
(Ⅰ)證明:直線;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大;
(Ⅲ)求點B到平面OCD的距離。
方法一(綜合法) (1)取OB中點E,連接ME,NE
又
(2)
為異面直線與所成的角(或其補角)作連接
,
所以 與所成角的大小為
(3)點A和點B到平面OCD的距離相等,連接OP,過點A作
于點Q,
又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離
,
,所以點B到平面OCD的距離為
方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系
,
(1)
設(shè)平面OCD的法向量為,則
即
取,解得
(2)設(shè)與所成的角為,
, 與所成角的大小為
(3)設(shè)點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,
由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為
19.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
設(shè)函數(shù)為實數(shù)。
(Ⅰ)已知函數(shù)在處取得極值,求的值;
(Ⅱ)已知不等式對任意都成立,求實數(shù)的取值范圍。
【解析】(I)在取得極值即
(Ⅱ)即 令即對任意都成立則即
【試題解析】本題考查運用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求字母參數(shù)的取值范圍,屬于中等題
【高考考點】導(dǎo)數(shù)的三大應(yīng)用
【備考提示】要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的三大應(yīng)用:①求斜率:在曲線的某點有切線,則求導(dǎo)后把橫坐標(biāo)代進(jìn)去,則為其切線的斜率;②有關(guān)極值:就是某處有極值,則把它代入其導(dǎo)數(shù),則為;③單調(diào)性的判斷: ,單調(diào)遞增;,單調(diào)遞減,和一些常見的導(dǎo)數(shù)的求法. 要熟練一些函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法有,作差法,作商法,導(dǎo)數(shù)法;對于含參范圍問題,解決方法有,當(dāng)參數(shù)為一次時,可直接解出通過均值不等式求最值把其求出;當(dāng)為二次時,可用判別式法或?qū)?shù)法等求.而此種題型函數(shù)與方程仍是高考的必考,以函數(shù)為背景、導(dǎo)數(shù)為工具,以分析、探求、轉(zhuǎn)化函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)為設(shè)問方式,重點考查函數(shù)的基本性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.其中試題靈活多變。
20.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2。根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為
X1
5%
10%
X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元,Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差DY1、DY2;
(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,100-x萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值,并指出x為何值時,f(x)取到最小值。 (注:D(aX + b) = a2DX)
【試題解析】 (I)由題設(shè)可知, Y1和Y2的分布列分別為
Y 1
5
10
P
0.8
0.2
Y 2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E Y1=5×0.8+10×0.2=6,
D Y1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D Y2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(II)
當(dāng)時,為最小值.
21.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是,一條漸近線的方程是.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍.
本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎(chǔ)知識,考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理運算能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:設(shè)雙曲線的方程為().由題設(shè)得
,解得,所以雙曲線方程為.
(Ⅱ)解:設(shè)直線的方程為().點,的坐標(biāo)滿足方程組
將①式代入②式,得,整理得.
此方程有兩個一等實根,于是,且.整理得.、
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標(biāo)滿足
,.
從而線段的垂直平分線方程為.
此直線與軸,軸的交點坐標(biāo)分別為,.由題設(shè)可得.整理得,.
將上式代入③式得,整理得,.
解得或.
所以的取值范圍是.
22.(本小題滿分12分)
(注意:在試題卷上作答無效)
數(shù)列的前項和為,已知
(Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式,并求關(guān)于的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項和。
解:由得:,即,所以,對成立。
由,,…,相加得:,又,所以,當(dāng)時,也成立。
(Ⅱ)由,得。
而,
,
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