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題目列表(包括答案和解析)

已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

單調遞減;當單調遞增,故當時,取最小值

于是對一切恒成立,當且僅當.       、

時,單調遞增;當時,單調遞減.

故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當,

從而,

所以因為函數在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.

 

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已知曲線的參數方程是是參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線:的極坐標方程是=2,正方形ABCD的頂點都在上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為(2,).

(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標;

 (Ⅱ)設P為上任意一點,求的取值范圍.

【命題意圖】本題考查了參數方程與極坐標,是容易題型.

【解析】(Ⅰ)由已知可得,

,,

即A(1,),B(-,1),C(―1,―),D(,-1),

(Ⅱ)設,令=,

==,

,∴的取值范圍是[32,52]

 

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一段長為32米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18米,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?

【解析】解:令矩形與墻垂直的兩邊為寬并設矩形寬為,則長為

所以矩形的面積   ()     (4分=128    (8分)

當且僅當時,即時等號成立,此時有最大值128

所以當矩形的長為=16,寬為8時,

菜園面積最大,最大面積為128 (13分)答:當矩形的長為16米,寬為8米時。菜園面積最大,最大面積為128平方米(注:也可用二次函數模型解答)

 

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已知數列滿足且對一切,

(Ⅰ)求證:對一切

(Ⅱ)求數列通項公式.   

(Ⅲ)求證:

【解析】第一問利用,已知表達式,可以得到,然后得到,從而求證 。

第二問,可得數列的通項公式。

第三問中,利用放縮法的思想,我們可以得到

然后利用累加法思想求證得到證明。

解:  (1) 證明:

 

 

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在函數的圖象上有、、三點,橫坐標分別為其中

⑴求的面積的表達式;

⑵求的值域.

【解析】由題意利用分割可先表示三角形ABC的面積,然后應用對數運算性質及二次函數的性質求解函數的最大值,屬于知識的簡單綜合.

 

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