解:由得:.即.所以.對成立. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)的最小值為0,其中

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若對任意的成立,求實數(shù)的最小值;

(Ⅲ)證明).

【解析】(1)解: 的定義域為

,得

當(dāng)x變化時,,的變化情況如下表:

x

-

0

+

極小值

因此,處取得最小值,故由題意,所以

(2)解:當(dāng)時,取,有,故時不合題意.當(dāng)時,令,即

,得

①當(dāng)時,上恒成立。因此上單調(diào)遞減.從而對于任意的,總有,即上恒成立,故符合題意.

②當(dāng)時,,對于,,故上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時,,即不成立.

不合題意.

綜上,k的最小值為.

(3)證明:當(dāng)n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.

當(dāng)時,

                      

                      

在(2)中取,得 ,

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上,,

 

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已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè),若對任意,不等式 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。

解: (I)的定義域是     ......1分

              ............. 2分

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是     ........4分

(II)若對任意不等式恒成立,

問題等價于,                   .........5分

由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,

故也是最小值點,所以;            ............6分

當(dāng)b<1時,;

當(dāng)時,;

當(dāng)b>2時,;             ............8分

問題等價于 ........11分

解得b<1 或 或    即,所以實數(shù)b的取值范圍是 

 

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已知函數(shù) R).

(Ⅰ)若 ,求曲線  在點  處的的切線方程;

(Ⅱ)若  對任意  恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

第一問中,利用當(dāng)時,

因為切點為(), 則,                 

所以在點()處的曲線的切線方程為:

第二問中,由題意得,即可。

Ⅰ)當(dāng)時,

,                                  

因為切點為(), 則,                  

所以在點()處的曲線的切線方程為:.    ……5分

(Ⅱ)解法一:由題意得,.      ……9分

(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)

,           

因為,所以恒成立,

上單調(diào)遞增,                            ……12分

要使恒成立,則,解得.……15分

解法二:                 ……7分

      (1)當(dāng)時,上恒成立,

上單調(diào)遞增,

.                  ……10分

(2)當(dāng)時,令,對稱軸,

上單調(diào)遞增,又    

① 當(dāng),即時,上恒成立,

所以單調(diào)遞增,

,不合題意,舍去  

②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分

綜上所述: 

 

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已知函數(shù),

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

(3)已知,命題p:關(guān)于x的不等式對函數(shù)的定義域上的任意恒成立;命題q:指數(shù)函數(shù)是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】第一問中,利用由 即

第二問中,,得:

第三問中,由在函數(shù)的定義域上 的任意,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。當(dāng)命題p為真時,;而命題q為真時:指數(shù)函數(shù).因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以

當(dāng)命題p為真,命題q為假時;當(dāng)命題p為假,命題q為真時分為兩種情況討論即可 。

解:(1)由 即

(2),得:

(3)由在函數(shù)的定義域上 的任意,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。當(dāng)命題p為真時,;而命題q為真時:指數(shù)函數(shù).因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以

當(dāng)命題p為真,命題q為假時,

當(dāng)命題p為假,命題q為真時,

所以

 

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已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中

(Ⅰ) 求的通項公式;

(Ⅱ) 設(shè) (N*).

①證明: ;

② 求證:.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,

所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

解:(Ⅰ)當(dāng)時,由.  ……2分

若存在,

從而有,與矛盾,所以.

從而由.  ……6分

 (Ⅱ)①證明:

證法一:∵

 

.…………10分

證法二:,下同證法一.           ……10分

證法三:(利用對偶式)設(shè),,

.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即

                    ………10分

證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

故當(dāng)時,命題成立.

綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

②由于

所以,

從而.

也即

 

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