1．（浙江）若是兩條異面直線外的任意一點，則（B    ）

A．過點有且僅有一條直線與都平行

B．過點有且僅有一條直線與都垂直

C．過點有且僅有一條直線與都相交

D．過點有且僅有一條直線與都異面

2．（06湖南）如圖，過平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁任意兩條棱的中

點作直線,其中與平面DBB₁D₁平行的直線共有( D )

A.4條     B.6條      C.8條      D.12條

3．（湖北）平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：

①；     

②；

③與相交與相交或重合；

④與平行與平行或重合．

其中不正確的命題個數(shù)是（�。摹。�

Ａ．1       Ｂ．2       Ｃ．3       Ｄ．4

4.（湖北）關(guān)于直線、與平面、，有下列四個命題：（D  ）

①且，則；    ②且，則；

③且，則；   ④且，則.

其中真命題的序號是：

  A. ①、②            B. ③、④             C. ①、④             D. ②、③

5．在正方形中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則(     )

①       四邊形一定是平行四邊形

②       四邊形有可能是正方形

③       四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形

④       四邊形有可能垂直于平面

以上結(jié)論正確的為  ①③④   。（寫出所有正確結(jié)論的編號）

6．（上海）在平面上，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、重合三種． 已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線，在上的射影是直線．用與，與的位置關(guān)系，寫出一個總能確定與是異

面直線的充分條件：  ，并且與相交（，并且與相交）     

★ ★★高考要考什么

線與面的位置關(guān)系:平行、相交、線在面內(nèi)；

面與面的位置關(guān)系:平行、相交；

   二．轉(zhuǎn)化思想：

  ；

★★★高考將考什么

【范例1】如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，

因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內(nèi)的射影是，，．

又，綜上得平面．

（Ⅲ）解法一：過點作，垂足為，連結(jié)．則（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設(shè)，

可得．

在中，，，

則．

在中，．

解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．

過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，連結(jié)，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，設(shè)，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

所以二面角的大小是．

變式：如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱．

（1）證明//平面；

（2）設(shè)，證明平面．

證明：（Ⅰ）取CD中點M，連結(jié)OM.

在矩形ABCD中，，又，則，

連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形.

又平面CDE， EM平面CDE，   ∴ FO∥平面CDE

（Ⅱ）證明：連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，

且.

因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.

【點晴】本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。

【范例2】如圖，在六面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，平面

，平面，．

（Ⅰ）求證：與共面，與共面．

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)值表示）．

證明：以為原點，以所在直線分別為軸，

軸，軸建立空間直角坐標系如圖，

則有．

（Ⅰ）證明：

．

．

與平行，與平行，

于是與共面，與共面．

（Ⅱ）證明：，

，

，．

與是平面內(nèi)的兩條相交直線．

平面．

又平面過．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

設(shè)為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

設(shè)為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

．

二面角的大小為．

解法2（綜合法）：

（Ⅰ）證明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

設(shè)分別為的中點，連結(jié)，

有．

，

于是．

由，得，

故，與共面．

過點作平面于點，

則，連結(jié)，

于是，，．

，．

，．

所以點在上，故與共面．

（Ⅱ）證明：平面，，

又（正方形的對角線互相垂直），

與是平面內(nèi)的兩條相交直線，

平面．

又平面過，平面平面．

（Ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，

根據(jù)三垂線定理，有．

過點在平面內(nèi)作于，連結(jié)，

則平面，

于是，

所以，是二面角的一個平面角．

根據(jù)勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小為．

變式如圖，已知是棱長為的正方體，

點在上，點在上，且．

（1）求證：四點共面；（4分）

（2）若點在上，，點在上，

，垂足為，求證：平面；（4分）

（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．

證明：（1）建立如圖所示的坐標系，則，，，

所以，故，，共面．

又它們有公共點，所以四點共面．

（2）如圖，設(shè)，則，

而，由題設(shè)得，

得．

因為，，有，又，，所以，，從而，．

故平面．

（3）設(shè)向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．

又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．

【范例3】如圖，在長方體AC₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

（1）證明：D₁E⊥A₁D；

（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

（3）AE等于何值時，二面角D₁―EC―D的大小為.

解析：法1

（1）∵AE⊥面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設(shè)點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

     ∴∠DHD₁為二面角D₁―EC―D的平面角.

設(shè)AE=x，則BE=2－x

法2：以D為坐標原點，直線DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AE=x，則A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），

從而，，

設(shè)平面ACD₁的法向量為，

則也即，得，

從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設(shè)平面D₁EC的法向量，

∴

由  令b=1,  ∴c=2, a=2－x，

∴依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時，二面角D₁―EC―D的大小為.

變式：如圖，四棱錐P―ABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.

（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）證明PA⊥BD.

 解析：（Ⅰ）如圖，取AD的中點E，

連結(jié)PE，則PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結(jié)OE.

根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成的二面角

的平面角，由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，

四棱錐P―ABCD的體積V_P―ABCD=

（Ⅱ）法1  如圖，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系.通過計算可得P(0，0，3)，

A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)

所以

因為 所以PA⊥BD.

法2：連結(jié)AO，延長AO交BD于點F.通過計算

可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，

得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.  

所以∠EAO+∠ADF=90°   所以  AF⊥BD.

因為  直線AF為直線PA在平面ABCD 內(nèi)的身影，所以PA⊥BD.

【點晴】本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關(guān)鍵是二面角的使用。使用空間向量能降低對空間想象能力的要求，但坐標系的位置不規(guī)則，注意點坐標的表示。

二、空間角與距離

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．如圖，直線a、b相交與點O且a、b成60⁰，過點O 與a、b都成60⁰角的直線有（  C  ）

A．1 條      B．2條      C．3條     D．4條

2．（江蘇•理）正三棱錐P-ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點 到側(cè)面的距離是­­­­­（  B  ）

A．        B．       C．6      D．

3．（全國Ⅰ•理）如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（ D ）

A．      B．    C．      D．

4．已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于．

5．（四川•理）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的角是    ．

6．在棱長為的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁， E、F分別為BC與A₁D₁的中點，

(1) 求直線A₁C與DE所成的角；

(2) 求直線AD與平面B₁EDF所成的角；

(3) 求面B₁EDF 與 面ABCD所成的角。

【專家解答】

(1)如圖，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP//DE交直

線AD于P，則（或補角）為異面直線A₁C與

DE所成的角。在Δ中，易得

，由余弦定理得。

故異面直線A₁C與DE所成的角為。

（2），

∴AD在面B₁EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上。而B₁EDF是菱形，∴DB₁為∠EDF的平分線。故直線

AD與面B₁EDF所成的角為∠ADB₁．在RtΔB₁AD中，

則。

故直線AD與平面B₁EDF所成的角為。

（3）連結(jié)EF、B₁D，交于點O，顯然O為B₁D的中點，從而O為正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁的中心，作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足為M ，連結(jié)OM，則OM⊥DE（三垂線定理），故∠OMH為二面角B₁-DE-A的平面角。

在RtΔDOE中，

則由面積關(guān)系得。

在RtΔOHM中。

故面B₁EDF 與 面ABCD所成的角為

★★★高考考什么

【考點透視】

異面直線所成角,直線與平面所成角,求二面角每年必考,作為解答題可能性最大.

【熱點透析】

1．轉(zhuǎn)化思想：

①

② 將異面直線所成的角,直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為平面角,然后解三角形

2．求角的三個步驟：一猜,二證,三算．猜是關(guān)鍵,在作線面角時,利用空間圖形的平行,垂直,對稱關(guān)系,猜斜線上一點或斜線本身的射影一定落在平面的某個地方,然后再證

3．二面角的平面角的主要作法：①定義   ②三垂線定義   ③ 垂面法

距離

【考點透視】

判斷線線、線面、面面的平行與垂直，求點到平面的距離及多面體的體積。

【熱點透析】

轉(zhuǎn)化思想：

 ①  ；

② 異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為平行線面之間的距離，

平行線面、平行面面之間的距離轉(zhuǎn)化為點與面的距離。

2．空間距離則主要是求點到面的距離主要方法：

①體積法；    ②直接法,找出點在平面內(nèi)的射影

★★★高考將考什么

【范例1】如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．

（I）求證：平面平面；

（II）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大��；

（III）求與平面所成角的最大值．

解法一：

（I）由題意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，

是異面直線與所成的角．

在中，，，

．

又． 在中，．

異面直線與所成角的大小為．

（III）由（I）知，平面，

是與平面所成的角，且．

當(dāng)最小時，最大，

這時，，垂足為，，，

與平面所成角的最大值為．

解法二：

（I）同解法一．

（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，

，，

．

異面直線與所成角的大小為．

（III）同解法一

【點晴】本題源于課本，高于課本，不難不繁，體現(xiàn)了通過平移求線線、通過射影求線面角的基本方法。

【變式】如右下圖,在長方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2．

E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1．

(1) 求二面角C―DE―C₁的正切值; (2) 求直線EC₁與FD₁所成的余弦值．

解：（I）以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，則有D(0,3,0)、D₁(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C₁(4,3,2),故

設(shè)向量與平面C₁DE垂直，則有

（II）設(shè)EC₁與FD₁所成角為β，則

【點晴】空間向量在解決含有三維直角的立體幾何題中更能體現(xiàn)出它的優(yōu)點，但必須注意其程序化的過程及計算的公式，本題使用純幾何方法也不難，同學(xué)不妨一試。

【范例2】如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。

（Ⅰ）求證：AB₁⊥面A₁BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大��；

分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．

解答：解法一：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為

的中點， ， ．

在正方形中，， 平面．

（Ⅱ）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又， ．

所以二面角的大小為．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設(shè)點到平面的距離為．

由得， ．

點到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面， 平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．

，， ，． 平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面， 為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

【點晴】由線線、線面、面面的位置尋找滿足某些條件的點的位置，它能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，兩種方法各有優(yōu)缺點，在向量方法中注意動點的設(shè)法，在方法二中注意用分析法尋找思路。

【變式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿對角線AC將折起，使點B在平面ACD內(nèi)的射影O恰在AC上。

（1）求證：AB平面BCD（2）求異面直線BC與AD所成的角。

解：(1)在梯形ABCD中,,AD=2，

，

又平面ACD，故

又，且平面BCD

（2）因為BA=BC，，

為AC中點，取CD中點E，AB中點F，連結(jié)OE、OF、EF，則OE//AD，

OF//BC，所以AD與BC所成的角為或其補角.

作FH//BO交AC于H，連結(jié)HE, 則FH平面ACD

在三角形EOF中，又，EO=1

由余弦定理知

故異面直線BC與AD所成的角為

【點晴】折疊問題必須注意折疊前后之間的關(guān)系和區(qū)別，本題使用空間向量的方法也不失一種好方法。

【范例3】在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E為BC中點.

（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大��；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小

解：（1）延長AB、DE交于點F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，

∵PA⊥平面ABCD，   ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A

∴DA⊥平面BPA于A,  過A作AO⊥PF于O，連結(jié)OD,

則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。

得，故面PDE與面PAD所成二面角的大小為

（2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A

∴DA⊥平面BPA于A, 同時BC⊥平面BPA于B,

∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,

設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ, cosθ=S_△PAB/S_△PCD=/2 θ=45⁰ ，即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°�！　�

解法2（補形化為定義法）如圖將四棱錐P-ABCD補形

得正方體ABCD-PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩

面所成二面角的平面角。      在Rt△PAD中，PA=AD，

則∠APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°�！�

【點晴】求線面角、面面角關(guān)鍵在于準確作出角，同樣遵循一作二證三計算的步驟，但應(yīng)用面積射影法求二面角可避免找角，同學(xué)們注意經(jīng)常使用。

【范例4】如圖，四面體ABCD中， O、E分別是BD、BC的中點，  

    （I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大�。�

    （III）求點E到平面ACD的距離。

    方法一：

    （I）證明：連結(jié)OC

    在中，由已知可得

    而 

    即

    平面

    （II）解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知

    直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

    在中，  

    是直角斜邊AC上的中線，  

    異面直線AB與CD所成角的大小為

    （III）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為

    在中，

    而 

    點E到平面ACD的距離為

    方法二：

    （I）同方法一。

    （II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

    異面直線AB與CD所成角的大小為

    （III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則

    令得是平面ACD的一個法向量。

    又 點E到平面ACD的距離

【點晴】本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。

【變式】已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CC₁上的點，且CN＝2C₁N．

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求點B₁到平面AMN的距離。

解（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則(0,0,1)，

M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，

所以,,

因為

所以,同法可得。

故??為二面角―AM―N的平面角

∴??＝

故二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）設(shè)n=(x, y, z)為平面AMN的一個法向量，則由得

, 故可取

設(shè)與n的夾角為a，則。

所以到平面AMN的距離為。

【范例5】如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

（Ⅰ）求BF的長；

（Ⅱ）求點C到平面AEC1F的距離.

解法1：（Ⅰ）過E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.

∴DF=C1H=2.

（Ⅱ）延長C1E與CB交于G，連AG，

則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.

過C作CM⊥AG，垂足為M，連C1M，

由三垂線定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，

且AG面AEC­1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.

在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到面AEC1F的距離.

解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，4，0），

A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.

∵AEC1F為平行四邊形，

（II）設(shè)為面AEC1F的法向量，

的夾角為a，則

∴C到平面AEC1F的距離為

【點晴】本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法等基礎(chǔ)知識，空間距離也遵循一作二證三計算的步驟，但體積法是一種很好的求空間距離的方法，同學(xué)們不妨一試。

【文】正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點。

（1）求點到直線AC的距離.

（2）求直線到平面的距離．

解：（1）連結(jié)BD，，由三垂線定理可得：，

所以就是點到直線AC的距離。

在中．

．

（2）因為AC與平面BD交于ＡＣ的中點Ｄ，

設(shè)，則//DE，所以//平面，

所以到平面BD的距離等于Ａ點到平面BD

的距離，等于Ｃ點到平面BD的距離，也就等于三棱

錐的高，    ，

，，即直線到平面BD的距離是．

【點晴】求空間距離注意三點：

1．常規(guī)遵循一作二證三計算的步驟；

2．多用轉(zhuǎn)化的思想求線面和面面距離；

3．體積法是一種很好的求空間距離的方法．

【范例6】如圖，在四棱錐P―ABC右，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E為PD的中點

（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離

解法一：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A、B、C、D、P、E的坐標分別為A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，，2).從而=（，1，0），=（，0，-2）.

設(shè)與的夾角為，則，

∴AC與PB所成角的余弦值為

（Ⅱ） N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為(x, 0, z),則

由NE⊥面PAC可得即

化簡得

即N點的坐標為（，0，1），從而N點到AB、AP的距離分別為1，

解法二：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角, 在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴, 即AC與PB所成角的余弦值為

（Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則.

連PF，則在RtΔADF中DF=.

設(shè)N為PF的中點，連NE，則NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC從而NE⊥面PAC

∴N點到AB的距離=AP=1，N點到AP的距離=AF=

【點晴】由線線、線面、面面的位置尋找滿足某些條件的點的位置，它能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，兩種方法各有優(yōu)缺點，在向量方法中注意動點的設(shè)法，在方法二中注意用分析法尋找思路。