在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，直線(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒過定點(diǎn)F．設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為2+

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關(guān)系．

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點(diǎn)A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)P的最遠(yuǎn)距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓的參數(shù)方程為

x= 3 cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù)）．以o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為2ρcos(θ+

π

3

)=3

6

．求橢圓上點(diǎn)到直線距離的最大值和最小值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，-1），B點(diǎn)在直線y=-3上，M點(diǎn)滿足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值．