在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點(diǎn)A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)P的最遠(yuǎn)距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（p，0）作直線與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，如圖，設(shè)動點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求證：y₁y₂為定值；
（Ⅱ）若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ADB面積的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y軸的定直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過定點(diǎn)C（p，0）作直線m與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（I）設(shè)N（-p，0），求

NA

•

NB

的最小值；
（II）是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xoy上，給定拋物線L：y=

1

4

x²．實(shí)數(shù)p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點(diǎn)，A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0），作L的切線交y軸于點(diǎn)B．證明：對線段AB上的任一點(diǎn)Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

2

；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)分別為E（p₁，

1

4

p

2 1

），E′（p₂，

1

4

p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F(xiàn)′．線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=

|p1|

2

．
（3）設(shè)D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

1

4

（x+1）²-

5

4

}．當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）