一、創(chuàng)設(shè)情景

1、學(xué)習(xí)直線與圓時(shí)，對圓的認(rèn)識經(jīng)歷了以下過程

2、學(xué)習(xí)了橢圓的定義，也有類似的思考

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過點(diǎn)F₁、F₂，并且O與線段F₁F₂的中點(diǎn)重合.

設(shè)M（x,y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c＞0)，

那么焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)分別是（－c,0），(c,0).

又設(shè)M與F₁和F₂的距離的和等于常數(shù)2a.

由橢圓定義，橢圓就是集合P=｛MㄏMF₁+MF₂=2a｝

因?yàn)?i>MF₁=，MF₂=

所以得：+=2a整理得：（a²－c²）x²+a²y²=a²(a²－c²).

由橢圓的定義可知：2a＞2c，即a＞c，故a²－c²＞0.

令a²－c²=b²，其中b＞0，代入上式整理得：

2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

標(biāo)準(zhǔn)方程

不

同

點(diǎn)

圖

形

焦點(diǎn)坐標(biāo)

兩軸上截距

(±a,0)與(0,±a)

(0,±a)與(±b,0)

相

同

點(diǎn)

定   義

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離的和等于

常數(shù)（大于F₁F₂）的點(diǎn)的軌跡

a、b、c的關(guān)系

焦點(diǎn)位置的判斷

分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上

橢圓的一般方程：mx²+ny²=1    (m,n∈R⁺,m≠n)

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

1、例1. 已知一個(gè)運(yùn)油車上的儲油罐截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的兩個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為3m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析:

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例2、已知方程(2-k)x²+ky²=2k-k²表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求k的范圍

解：原方程可以化為+=1，k>2-k>0,故1<k<2

  練習(xí):課本28頁1，2，3

四、回顧總結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求理解并掌握橢圓定義，并熟練掌握橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程

作業(yè)：課本第28頁1、2、4

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、方程=10,化簡的結(jié)果是 __________   

2、如圖，F(xiàn)(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且CF⊥x軸，OC∥AB,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________

3、α，方程sinαx²+cosαy²=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則α的取值范圍為 _____

4、橢圓焦距為2，則m=________________

5、橢圓中a+c=10,a-c=4,則橢圓的方程為___________________________

6、 已知⊙C₁:x²+y²+4x=0,⊙C₂:x²+y²-4x-60=0,⊙M和定圓⊙C₁外切和⊙C₂內(nèi)切，求點(diǎn)M的軌跡方程

7*、在面積為l的△PMN中tgM＝1/2，tgN＝－2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M,N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程.　　　　　　　　　　　　　　　　

[答案]1、

2、

3、（0，）

4、5或3

5、橢圓或

6、
　7*、　
　解法一:建立直角坐標(biāo)系如圖:以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸。
設(shè)橢圓方程為：x²/a²＋y²/b²＝1 分別記M、N、P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-c,0)、(c,0)和(x₀,y₀).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴ 由題設(shè)知　　 　　　　在△MNP中，MN＝2c，MN上的高為4c/3
　　∴  　　
　　∴a＝(│PM│+│PN│)/2＝從而 b²=a²-c²=3.
解法二:同解法一得：∵ 點(diǎn)P在橢圓上,且a²=b²+c².　　　解得b²＝3　或　b²＝-1/3(舍去)a²=b²＋c²=15/4.故所求橢圓的方程為：4x²/15＋y²/3＝１

§2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)――標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)過程：

二、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

分析：可能是a,也可能是b,相應(yīng)設(shè)方程、解方程得到橢圓方程為：5x²+4y²=1或4x²+5y²=1

變形：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂,M為橢圓上任意一點(diǎn)，MF₁F₂能構(gòu)成三角形，方程是什么？ MF₁>MF₂呢？

說明：①求出曲線后，要注意檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如果有不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在所得方程后注明限制條件；

②要求學(xué)生對圓錐曲線的定義比較熟悉，這樣可以在求曲線軌跡方程時(shí)，簡化求解步驟，快速準(zhǔn)確的用待定系數(shù)法求方程。

例2  將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话�，求所得曲線得方程，并說明它是什么曲線？

解：[方法一]用相關(guān)點(diǎn)法：設(shè)所得曲線上任意一點(diǎn)得坐標(biāo)為，圓上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為     因?yàn)?sub>    所以

[方法二]參數(shù)法：設(shè)圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(2cosθ,2sinθ), 曲線上任意一點(diǎn)得坐標(biāo)為,則

，消去θ得方程為

說明：在求解曲線軌跡的過程當(dāng)中，使用到了利用中間變量求軌跡的方法，此中間變量可以是相關(guān)點(diǎn)法，也可以是參數(shù)法。

變式： 已知F是橢圓25x²+16y²=400在x軸上方的焦點(diǎn)，Q是此橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求動點(diǎn)P的軌跡方程.（100x²+16（2y-3）²=400）

例3、已知P為橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，,求面積S

解：S=PF₁.PF₂sinα，而F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁.PF₂cosα=(PF₁+PF₂)²-2PF₁.PF₂(1+cosα)

4c²=4a²-2PF₁.PF₂(1+cosα)PF₁.PF₂=2(a²-c²)=2b²,S=.2b²=

說明：橢圓的方程和定義有時(shí)要混合使用

練習(xí)：橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A,F₁為左焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)P，使PF₁+PA取最值

（設(shè)F₂為右焦點(diǎn)，則PF₁+PA=2a+PA-PF₂,過A和F₂作直線與橢圓的交點(diǎn)即為所求）

三、回顧總結(jié)：

（1）橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)；標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系；

（3）用定義法、待定系數(shù)法、中間變量法求橢圓的方程

[補(bǔ)充習(xí)題]

   1、△ABC中，A(-6,0),B(6,0),求滿足下列條件的點(diǎn)C的軌跡方程。(1)BC、AB、AC成等差數(shù)列，且BC>AC_____________________;(2)AC、BC所在直線斜率乘積為-__________

   2、F₁,F₂為兩個(gè)焦點(diǎn)，過F₂的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB=5,則AF₁+BF₁=____

   3、圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,PA的中點(diǎn)為M，則M的軌跡方程為______

   4、已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0),Q為+y²=1上的動點(diǎn)，求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程

   5、F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)。求證：以PF₂為直徑的圓與以AB為直徑的圓內(nèi)切

[答案]

1、(1)+=1，x<0,y≠0;(2)

2、11

3、x²+4y²=4

4、(2x-1)²+16y²=4

5、略

§2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(1)

1、知識與技能：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)，掌握幾何意義以及的相互關(guān)系，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。

2、過程與方法：利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣；通過觀察與思考，讓學(xué)生體會橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn)：橢圓離心率與橢圓關(guān)系

教學(xué)過程：

1、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

2、思想方法總結(jié)：利用平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理。

建立曲線方程的目的就是要用代數(shù)的方法研究幾何問題，本課就是要根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程去研究橢圓的幾何性質(zhì)。

在以前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸到如何通過方程研究幾何問題，例如直線的平行與垂直，函數(shù)奇偶性中函數(shù)解析式的特征與圖象的對稱性的關(guān)系等等，請思考：

如何根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)？

１、范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都適合不等式

橢圓位于直線和所圍成的矩形里．

即,

2、對稱性：  

從圖形上看：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱。從方程上看： 

（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；

（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；

（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。

３、頂點(diǎn)：

令 x=0，得 y=？，說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？（-a,0）,(a,0)

令 y=0，得 x=？說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？(０,-b), (0,b)

(1)頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。

(2)長軸、短軸：線段、線段分別叫橢圓的長軸和短軸，

它們的長分別等于2a和2b；

(3)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

4、離心率：

橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率．

說明①因?yàn)?sub>所以．

②e越接近１，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；

反之，e越接近于０，c越接近于０，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就接近于圓；

③當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A．

[對于上述性質(zhì)要求學(xué)生熟練掌握，并能由此推出焦點(diǎn)在y軸的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)（要求學(xué)生自己歸納），并能根據(jù)橢圓方程得到相應(yīng)性質(zhì)．]

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

教材32頁練習(xí)1，2，3

例1、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)連成正三角形，則長軸是短軸的多少倍？

解答：根據(jù)對稱性和頂點(diǎn)性質(zhì)，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸頂點(diǎn)的連線就是長半軸，原點(diǎn)、短軸的一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，a=b

變形1：上題中，離心率為__________？（）

變形2：橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角（或視角）為120⁰，離心率為____（）

例2、求橢圓（a>b>0）上點(diǎn)到左焦點(diǎn)F距離的最值

解：[方法一]設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),則，PF²=(x+c)²+y²=x²+2cx+c²+b²(1-)=

x²+2cx+a²在-a≤x≤a上單調(diào)增，x=-a時(shí)PF²_min=(c-a)²,x=a時(shí)PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c反應(yīng)在圖上正好為長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)

[方法二]設(shè)P(acosθ,bsinθ),PF²=(acosθ+c)²+(bsinθ)²=c²cos²θ+2ca.cosθ+a²是cosθ的單調(diào)增函數(shù)，∴cosθ=-1時(shí)，PF²_min=(c-a)², cosθ=1時(shí)PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c 反應(yīng)在圖上正好為長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)

    思考：到右焦點(diǎn)距離呢？

四、回顧總結(jié)

標(biāo)準(zhǔn)方程

圖象

范圍

對稱性

頂點(diǎn)

長軸、短軸

離心率

五、布置作業(yè)（A組題）課本第32頁感受理解1、3、4、5、8

   [補(bǔ)充習(xí)題]

1、(1)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，焦點(diǎn)到中心的距離為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________

(2)對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓焦點(diǎn)F₁,F₂在x軸上，短軸的一個(gè)短點(diǎn)為B,△BF₁F₂周長為4+2，∠BF₁F₂=30⁰,則橢圓的方程為____________________

2、橢圓x²+ky²=1(0<k<1),k越接近___________時(shí)，橢圓越扁

3、我國發(fā)射的神州5號載人飛船運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距離地球表面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地球表面n千米，地球的半徑為R,則該軌道的短軸長為_________

4、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與+=1有相同的離心率，則其方程的形式為__________

5、橢圓+=1的離心率為，則m=___________

6、已知橢圓對稱軸是坐標(biāo)軸，O為原點(diǎn)，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)，A為一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸為6，∠OFA=,求橢圓的方程

7、橢圓過點(diǎn)(3,0),離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

8、求橢圓（a>b>0）上到點(diǎn)B(0,b)距離的最值

[解答] 1、（1）或；（2）;2、0;3、2

4、+=1;  5、3或; 6、或;7、或

8*、設(shè)P(x,y),當(dāng)P與B重合時(shí)，PB取得最小值為0，另有

PB²=x²+(y-b)²=(1-)a²+y²-2by+b²=-y²-2by+a²+b²是y的二次函數(shù)，-b≤y≤b,不考慮定義域情況下函數(shù)的對稱軸為y=;若≤b，當(dāng) y=時(shí)PB²_max=;若>b，當(dāng) y=-b時(shí)PB²_max=4b²

總之，PB_min=0,PB_max=

§2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(2)

教學(xué)目標(biāo)：

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：離心率范圍的拼湊、左邊方法

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1、橢圓的性質(zhì)復(fù)習(xí)

2、練習(xí)教材P32練習(xí)題4，5

二、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1、設(shè)P是橢圓（a＞b＞0）不在長軸上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點(diǎn)，(1)什么情況下，P對F₁及F₂的張角最大,并求此時(shí)張角的余弦值；(2)若∠F₁PF₂=90°，求橢圓的率心率e的范圍

解：(1)設(shè)PF₁=m,PF₂=n,則m+n=2a,cos∠F₁PF₂===-1,而mn≤=a²，cos∠F₁PF₂≥-1，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a,即：P(0,±b)時(shí)，∠F₁PF₂最大，此時(shí)cos∠F₁PF₂=-1

(2)設(shè)短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為B, ∠F₁BF₂≥90⁰，∠F₁BO≥45⁰，

 e≥，則離心率的范圍是≤e<1

    說明：以上方法的核心是拼湊定值，稱拼湊法

變形練習(xí)：如果∠F₁PF₂=120⁰，求e的范圍（≤e<1）

   例2、設(shè)P是橢圓（a＞b＞0）非長軸上的一點(diǎn)，A₁、A₂是橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，(1)什么情況下，P對A₁及A₂的張角最大,并求此時(shí)張角的正切值；(2)若∠A₁PA₂=120°，求橢圓的率心率e的范圍

   解：(1)設(shè)P(x,y),不妨設(shè)y>0, 則,設(shè)∠A₁PA₂=θ，則∠A₁+∠A₂=180⁰-θ,

tan(∠A₁+∠A₂)=-tanθ=，而tanA₁=,tanA₂=,代入tanθ=-，x²=a²(1-),tanθ===-是的增函數(shù)，當(dāng)y=b時(shí)最大。同理當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，θ最大，此時(shí)tanθ=-

(2) ∠A₁BA₂≥120⁰, ∠A₁BO≥60⁰，≤e<1

說明：這一方法核心是通過坐標(biāo)計(jì)算得出的，稱坐標(biāo)法

練習(xí)：例題中若存在PA₁⊥PO，求離心率e的范圍（解答(,1)）

四、作業(yè)：P33----5,6,7,9,10

補(bǔ)充作業(yè)

1、過橢圓（a＞b＞0）的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為____________

2、線段AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，將AB五等份，過四個(gè)分點(diǎn)分別作AB的垂線交橢圓上半部于P₁,P₂,P₃,P₄四個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則PF₁+PF₂+PF₃+PF₄=_____________

3、過點(diǎn)(x₀,y₀)的任意直線與橢圓（a＞b＞0）有公共點(diǎn)，則(x₀,y₀)應(yīng)該滿足關(guān)系式________________

4、設(shè)P是橢圓（a＞b＞0）P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為60⁰，求橢圓的率心率e的范圍

5、設(shè)P是橢圓（a＞b＞0）非短軸上的一點(diǎn)，B₁、B₂是橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，若∠B₁PB₂=60°，求橢圓的率心率e的范圍

[答案]1、;    2、4a;     3、;    4、≤e<1;  5、≤e<1

                        2.2.2直線與橢圓

[教學(xué)目的]

[教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)]最值求法與差分法（本節(jié)是一個(gè)課件）

[教學(xué)流程]

（d=,特別的兩平行線ax+by+C_i=0間距離為

2、如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？弦長如何確定？圓上點(diǎn)到直線距離最值呢？

(通過方程組解的個(gè)數(shù)或圓心到直線的距離d來確定，弦長為2,最值通過數(shù)形結(jié)合為|r±d|)

提出問題：直線與橢圓關(guān)系如何？進(jìn)入主題――直線與橢圓

二、要點(diǎn)內(nèi)容

例1、求橢圓+=1上點(diǎn)到直線l:x-y+7=0距離的最值,并求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

[分析思路一]與圓類似：將直線l平移，與橢圓相切時(shí)，切點(diǎn)到直線距離即為兩距離

解：[方法一]設(shè)與直線l平行的直線:y=x+c與橢圓+=1相切，代入橢圓方程得到：

25x²+32cx+16c²-144=0,△=(32c)²-4×25×(16c²-144)=0，解得c=±5，它們與直線l的距離即為橢圓上點(diǎn)到直線距離的最值，d_max==6,此時(shí)代入可以求得點(diǎn)P₂(,-),d_min==此時(shí)代入可以求得P₁(-,)

說明：這一方法的核心是數(shù)形結(jié)合，稱直線平移法

[分析思考二]能否通過直線上點(diǎn)的坐標(biāo)直接求距離呢？

解：設(shè)P(4cosθ,3sinθ),它到直線l的距離d==

==，其中sinφ=,cosφ=

當(dāng)sin(φ-θ)=1時(shí)，d_max==6,此時(shí)φ-θ=+2kπ，k∈Z,θ=--2kπ+φ，cosθ=sinφ=,sinθ=-cosφ=-，對應(yīng)點(diǎn)P₂(,-)；同理當(dāng)sin(φ-θ)=-1時(shí)，d_min==,此時(shí)φ-θ=-+2kπ，k∈Z,θ=-2kπ+φ，cosθ=-sinφ=-,sinθ=cosφ=，對應(yīng)點(diǎn)P₁(-,)

   說明：這一方法中，θ稱參數(shù)，相應(yīng)方法稱參數(shù)法。

   例2、已知橢圓+y²=1   (1)求過點(diǎn)P(, )且被P平分的弦的方程。(2)求斜率為2的平行弦的終點(diǎn)的軌跡方程

解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),則x₁²+2y₁²=2    x₂²+2y₂²=2兩式作差得到

(x₁-x₂)(x₁+x₂)-2(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0,∵x₁≠x₂∴(x₁+x₂)+2 (y₁+y₂)=0

(1)由中點(diǎn)公式，x₁+x₂=1,y₁+y₂=1,而為直線的斜率k,∴1+2k=0,k=-,直線方程為y-=-(x-)即2x+4y-3=0,代入橢圓方程檢驗(yàn)有△>0,∴弦的方程為2x+4y-3=0（在橢圓內(nèi)x₁²+2y₁²<2）

說明：這一方法稱差分法或點(diǎn)差法，適用于中點(diǎn)――弦的有關(guān)問題，其步驟為：

S1:設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程，作差

S2:根據(jù)=k, x₁+x₂=x₀,y₁+y₂=x₀

S3:得出相應(yīng)解，并檢驗(yàn)，必要時(shí)加條件限制

(2)設(shè)中點(diǎn)為(x,y),則x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,=2,從而2x+2×2×2y=0即x+4y=0(x₁²+2y₁²<2)

練習(xí)：求過點(diǎn)(2,1)引直線與該橢圓交于B、C兩點(diǎn)，求BC中點(diǎn)的軌跡方程（此時(shí)=，方程x²+2y²-2x-2y=0(x²+2y²<1)）

2、涉及中點(diǎn)――弦問題時(shí)常用差分法

四、作業(yè)

1、橢圓+=1上一點(diǎn)P到直線l:3x-2y-16=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是____________

2、點(diǎn)P(x,y)為曲線C:上任意一點(diǎn)，θ∈，則的范圍是__________

3、橢圓C:x²+2y²=4.(1)直線l:y=x+1被C截得的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為________________

(2)與l平行的直線被C截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程為_____________

(3)過點(diǎn)(1,1)作C的弦，其中點(diǎn)的方程為______________________________________

4、在橢圓x²+8y²=8上求一點(diǎn)P,使P到直線l:x-y+4=0的距離最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

[答案]

1、(-,)

2、

3、(1)(-,);   (2)x+2y=0(x²+2y²<4)     (3)x²+2y²-x-2y=0(x²+2y²<4)

4、(-,)