北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學(xué)統(tǒng)一練習(xí)(二)
(理工類) 2009.5
(考試時(shí)間120分鐘 滿分150分)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分
第I卷(選擇題 共40分)
注意事項(xiàng):
1.答第I卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考試科目涂寫在答題卡上?荚嚱Y(jié)束時(shí),將試題卷和答題卡一并交回。
2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào),不能答在試題卷上。
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題的4個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知(為虛數(shù)單位),則的值分別為 ( )
A.,1 B., C., D.1,3
2.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則的
值是 ( )
A. B. C.1 D.2
3.設(shè)是展開式中x2項(xiàng)的系數(shù),則等于( )
A.2 B.
4.已知集合,,若集合有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
5.已知兩點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),則面積的最小值是 ( )
A.8 B.
6.條件:;條件:函數(shù)在區(qū)間上存在,使得成立,
則是的 ( )
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件
7.已知,,,是平面內(nèi)不共線的四點(diǎn),若存在正實(shí)數(shù),,使得,則,, ( )
A.都是銳角 B.至多有兩個(gè)鈍角
C.恰有兩個(gè)鈍角 D.至少有兩個(gè)鈍角
8.已知滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為,滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為,(其中、分別表示不大于、的最大整數(shù)),則點(diǎn)一定在 ( )
A.直線左上方的區(qū)域內(nèi) B.直線上
C.直線右下方的區(qū)域內(nèi) D.直線左下方的區(qū)域內(nèi)
第II卷(非選擇題 共110分)
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
總分
得分
得分
評(píng)卷人
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.將答案填在題中
9.將函數(shù)的圖象按向量平移后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 .
10.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則函數(shù)的最大值為 .
11.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,.將三角形沿對(duì)角線折到,使得二面角的大小為,則與平面所成角的正弦值是
;四面體的體積為 .
12.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于兩點(diǎn),
則的周長(zhǎng)為 ;若兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,且
的面積是4,則的值為 .
13.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義運(yùn)算(用表示運(yùn)算符號(hào)):當(dāng)都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時(shí),;而當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),.例如,.在上述定義中,集合的元素有 個(gè).
14.已知是定義在上不恒為零的函數(shù),對(duì)于任意的,都有成立. 數(shù)列滿足,且.則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________________ .
得分
評(píng)卷人
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅰ)試求的值;
(Ⅱ) 在銳角中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊.若
的面積,求的值.
得分
評(píng)卷人
16. (本小題滿分14分)
如圖,四棱錐的底面是矩形,底面,為邊的中點(diǎn),與平面所成的角為,且,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離;
(Ⅲ)求二面角的大小.
得分
評(píng)卷人
17.(本小題滿分13分)
在袋子中裝有10個(gè)大小相同的小球,其中黑球有3個(gè),白球有,且個(gè),其余的球?yàn)榧t球.
(Ⅰ)若,從袋中任取1個(gè)球,記下顏色后放回,連續(xù)取三次,求三次取出的球中恰有2個(gè)紅球的概率;
(Ⅱ)從袋里任意取出2個(gè)球,如果這兩個(gè)球的顏色相同的概率是,求紅球的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從袋里任意取出2個(gè)球.若取出1個(gè)白球記1分,取出1個(gè)黑球記2分,取出1個(gè)紅球記3分.用ξ表示取出的2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)的和,寫出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望.
得分
評(píng)卷人
18.(本小題滿分13分)
已知雙曲線的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)過右焦點(diǎn)的直線(不與x軸重合)與雙曲線交于兩點(diǎn),且直線、分別交雙曲線的右準(zhǔn)線于、兩點(diǎn),求證:為定值.
得分
評(píng)卷人
19.(本小題滿分13分)
設(shè)數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在直線(為與無關(guān)的正實(shí)數(shù))上.
(Ⅰ) 求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ) 記數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足.
設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,設(shè),證明.
得分
評(píng)卷人
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù),,與是否存在“分界線”?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
北京市朝陽區(qū)高三統(tǒng)一練習(xí)二
數(shù)學(xué)理科答案 2009.5
一、選擇題:
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
D
A
D
A
二、填空題:
(9) ; (10) 2; (11) ;
(12) 16,; (13) 15; (14) .
三、解答題:
(15) 解: (Ⅰ)因?yàn)?sub>
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,且,故. ………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
由得,,
所以.
又因?yàn)?sub>,所以,
所以,即.
又因?yàn)?sub>,且,所以.
由余弦定理得.
解得(舍負(fù)),所以. ………………………13分
(16) 證明:(Ⅰ)因?yàn)?sub>底面,
所以是與平面所成的角.
由已知, 所以.
易求得,,又因?yàn)?sub>,
所以, 所以.
因?yàn)?sub>底面,平面,
所以. 由于,
所以平面. ………………………4分
解:(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,平面.又因?yàn)?sub>平面,
所以平面平面,
過作于,(如圖)則平面,
所以線段的長(zhǎng)度為點(diǎn)到平面的距離.
在中,易求得, 所以.
所以點(diǎn)到平面的距離為. ………………………9分
(Ⅲ)設(shè)為中點(diǎn). 連結(jié),由于底面,
且平面,則平面平面.
因?yàn)?sub>,所以平面.
過作,垂足為,連結(jié),
由三垂線定理可知,
所以是二面角的平面角.
容易證明∽,則,
因?yàn)?sub>,,,
所以.
在中,因?yàn)?sub>,所以,
所以二面角的大小為. ………………………14分
解法二:
因?yàn)?sub>底面,
所以是與平面所成的角.
由已知,
所以.
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
由已知,為中點(diǎn).
于是、、、
、.
(Ⅰ)易求得,
, .
因?yàn)?sub>, ,
所以,.
因?yàn)?sub>,所以平面. ………………………4分
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為,
由 得 解得,
所以. 又因?yàn)?sub>,
所以點(diǎn)到平面的距離. ………………………9分
(Ⅲ)因?yàn)?sub>平面,所以是平面的法向量, 易得.
由(Ⅱ)知平面的法向量,
所以.
所以二面角的大小為. ………………………14分
(17) 解:(Ⅰ)設(shè)“從袋中任取1個(gè)球是紅球”為事件A,則.
所以,.
答:三次取球中恰有2個(gè)紅球的概率為. ………………4分
(Ⅱ)設(shè)“從袋里任意取出2個(gè)球,球的顏色相同”為事件B,則
整理得:,解得n=3(舍)或n=4.
所以,紅球的個(gè)數(shù)為3個(gè). ………………………8分
(Ⅲ)的取值為2,3,4,5,6,且
所以的分布列為
2
3
4
5
6
P
所以, ………………………13分
(18) 解:(Ⅰ)雙曲線的右準(zhǔn)線為,漸近線為.
因?yàn)橛覝?zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,
所以解得.
于是,雙曲線的方程為. ………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,右準(zhǔn)線為.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
則直線方程分別為,
令,得的坐標(biāo)分別為,
此時(shí).
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,
由得.
因?yàn)橹本與雙曲線交于兩點(diǎn),
所以,,解得.
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
則,.
則直線方程分別為,
令,得的坐標(biāo)分別為,
所以
.
所以,為定值. ………………………13分
(19) 解:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)在直線(為與無關(guān)的正實(shí)數(shù))上,
所以,即有.
當(dāng)時(shí),.
由,解得,所以.
當(dāng)
①
②
①-②,得 ,整理得.
綜上所述,知 ,因此是等比數(shù)列. …………………5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,從而,
所以.
因此,是等差數(shù)列,并且.
所以,
. ………………………10分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知,則.
將用二項(xiàng)式定理展開,共有項(xiàng),其第項(xiàng)為
同理,用二項(xiàng)式定理展開,共有項(xiàng),第項(xiàng)為,其前項(xiàng)中的第項(xiàng)為,
由,
得又,
∴ . ………………………13分
(20) (Ⅰ)解:因?yàn)?sub>,令,解得,
令,解得,
所以函數(shù)在上遞減,上遞增,
所以的最小值為. ………………………3分
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值,所以,即
兩端同時(shí)乘以得,把換成得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
由得,,, ,…
,.
將上式相乘得
.………………………9分
(Ⅲ)設(shè).
則.
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此時(shí)取得最小值0,則與的圖象在處有公共點(diǎn).
設(shè)與存在 “分界線”,方程為.
由在恒成立,
則在恒成立.
所以成立.因此.
下面證明成立.
設(shè),.
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此時(shí)取得最大值0,則成立.
所以,. ………………………14分
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