一、選擇題
1(漢沽一中2008~2009屆月考理 3).如右圖所示,一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形,俯視圖是一個(gè)直徑為的圓,那么這個(gè)幾何體的全面積為(A)
A. B.
C. D.
2(漢沽一中2008~2009屆月考文5). 一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面交線的位置關(guān)系是( C ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.異面 B. 相交 C. 平行 D. 不確定
3(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模6). 如果直線與平面,滿足:和,那么必有(B )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
4(漢沽一中2008~2008學(xué)年月考理6).三棱錐D―ABC的三個(gè)側(cè)面分別與底面全等,且AB=AC=,BC=2,則二面角A―BC―D的大小為D
A. 300 B.
二、填空題
1(漢沽一中2008~2009屆月考理11).在直角三角形中,兩直角邊分別為,設(shè)為斜邊上的高,則,由此類比:三棱錐的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直,且長分別為,設(shè)棱錐底面上的高為,則 .
2(漢沽一中2008~2008學(xué)年月考理11).一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為,五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為 . 9π
3(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模12). 在120°的二面角內(nèi)放一個(gè)半徑為6的球,與兩個(gè)半平面各有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則這兩點(diǎn)間的球面距離是 。2
三、解答是
1(2009年濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考文19).( 本小題滿分12分) 如圖,在棱長為的正方體中,
、分別為、的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證://平面
(Ⅱ)求證:⊥
(Ⅲ)求三棱錐的體積
19.(本小題滿分12分)
解:
(Ⅰ)連結(jié)BD1,在△DD1B中,E、F分別為D1D,
DB的中點(diǎn),則EF//D1B。 ………………2分
………………4分
(Ⅱ)∵B
AB平面ABC1D1,BC1平面ABC1D1,
AB∩BC1=B,
∴B
又∵BD1平面ABC1D1,
∴B
而EF//BD1,∴EF⊥B
(Ⅲ)三棱錐的體積………………12分
2(漢沽一中2008~2009屆月考文18).(本小題滿分14分)如圖,已知棱柱的底面是菱形,且面,,,為棱的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),
(1)求證:面;
(2)求證:面;
(3)求面與面所成二面角的大小.
(1)證明:連結(jié)、交于點(diǎn),再連結(jié)………………………………………………1分
且, 又,
且
四邊形是平行四邊形,…………… 3分
又面
面 ……………………………… 4分
(2)證明:底面是菱形, ………… 5分
又面,面
,面 ………………………………………………6分
又面 ………………………………8分
(3)延長、交于點(diǎn) ………………………………9分
是的中點(diǎn)且是菱形
又 ………………………………10分
由三垂線定理可知
為所求角 ……………………………………………12分
在菱形中,
…………………………………………………14分
3(漢沽一中2008~2009屆月考理17).(本小題滿分14分)
如圖所示的幾何體中,平面,,,
,是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
解法一: 分別以直線為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則
,
所以. ………………………… 4分
(Ⅰ)證: …… 5分
…… 6分
,即.……………………… 7分
(Ⅱ)解:設(shè)平面的法向量為,
由,得
取得平面的一非零法向量為 ………………………… 10分
又平面BDA的法向量為 …………………………………… 11分
,
∴二面角的余弦值為. …………………………… 14分
解法二:
(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連接,則,
故四點(diǎn)共面, ………………………… 2分
∵平面,
. ………………………… 3分
又
………………………… 4分
由,
平面 ………………………… 6分
; ……………………… 7分
(Ⅱ)取的中點(diǎn),連,則
平面
過作,連,則
是二面角的平面角. ……………………… 9分
設(shè), 與的交點(diǎn)為,記,,則有
.
.
, …………………… 12分
又
在中,
即二面角的余弦值為. …………………… 14分
4(漢沽一中2008~2008學(xué)年月考理17).(本小題滿分14分)
如圖,三棱錐P―ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD平面PAB.
(I) 求證:AB平面PCB;
(II) 求異面直線AP與BC所成角的大小;
(III)求二面角C-PA-B的大。
解法一:(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,
∴PCAB.…………………………2分
∵CD平面PAB,平面PAB,
∴CDAB.…………………………4分
又,
∴AB平面PCB. …………………………5分
(II) 過點(diǎn)A作AF//BC,且AF=BC,連結(jié)PF,CF.
則為異面直線PA與BC所成的角.………6分
由(Ⅰ)可得AB⊥BC,
∴CFAF.
由三垂線定理,得PFAF.
則AF=CF=,PF=,
在中, tan∠PAF==,
∴異面直線PA與BC所成的角為.…………………………………9分
(III)取AP的中點(diǎn)E,連結(jié)CE、DE.
∵PC=AC=2,∴CE PA,CE=.
∵CD平面PAB,
由三垂線定理的逆定理,得 DE PA.
∴為二面角C-PA-B的平面角.…………………………………11分
由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=.
在中,PB=,
.
∴二面角C-PA-B的大小為arcsin.……14分
解法二:(I)同解法一.
(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,
又∵AB=BC,可求得BC=.
以B為原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系.
則A(0,,0),B(0,0,0),
C(,0,0),P(,0,2).
,.
…………………7分
則+0+0=2.
== .
∴異面直線AP與BC所成的角為.………………………10分
(III)設(shè)平面PAB的法向量為m= (x,y,z).
,,
則 即
解得 令= -1, 得 m= (,0,-1).
設(shè)平面PAC的法向量為n=().
,,
則 即
解得 令=1, 得 n= (1,1,0).……………………………12分
=.
∴二面角C-PA-B的大小為arccos.………………………………14分
5(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模19). (本小題滿分12分)
如圖,直二面角D―AB―E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE。
(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B―AC―E的大;
(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離。
解:(1)如圖,∵ BF⊥平面ACE ∴ BF⊥AE(1分)
又∵ 二面角D―AB―E為直二面角,且CB⊥AB
∴ CB⊥平面ABE ∴ CB⊥AE
∵ ∴ AE⊥平面BCE(3分)
(2)連BD交AC于G,連FG
∵ 正方形ABCD邊長為2 ∴ BG⊥AC,
∵ BF⊥平面ACE 由三垂線定理逆定理得FG⊥AC
∴ ∠BGF是二面角B―AC―E的平面角(5分)
由(1)AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EB
又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形AEB中,
又∵ Rt△BCE中,
∴ (7分)
∴ 在Rt△BFG中,
∴ 二面角B―AC―E等于(8分)
(3)過E作EO⊥AB于O,OE=1
∵ 二面角D―AB―E為直二面角
∴ EO⊥平面ABCD(9分)
設(shè)D到平面ACE的距離為h
∵ ∴
∵ AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EC
∴
∴ 點(diǎn)D到平面ACE的距離為(12分)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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