題目列表(包括答案和解析)
已知直三棱柱中, , , 是和的交點, 若.
(1)求的長; (2)求點到平面的距離;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中,利用ACCA為正方形, AC=3
第二問中,利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB
CHE為二面角C-AB-C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為 ……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ……………………… 3分
=(2, -, -), =(0, -3, -h(huán)) ……… 4分
·=0, h=3
(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分
(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C-AB-C的大小滿足cos== ……… 11分
二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為
如圖(1)一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60 cm,A,C之間的距離是200 m,B,D間的距離為250 m,C,D間距離為2000 m,P點與A點間、Q點與B點間分別用直線式橋索相連結(jié),立柱PC,QD間可以近似的看作是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié),E為頂點,與AB距離為10 m,現(xiàn)有一只江鷗從A點沿著鋼索AP,PEQ,QB走向B點,試寫出從A點走到B點江鷗距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系.
王小明同學(xué)采用先建立直角坐標(biāo)系,再求關(guān)系式的方法,他寫道:
如圖(2),以A點為原點,橋面AB所在直線為x軸,過A點且垂直與AB的直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(200,0),P( ),E( ),D(2200,0),Q( ),B(2450,0).請你先把上面沒有寫全的坐標(biāo)補全,然后在王小明同學(xué)已建立的直角坐標(biāo)系下完整地解決本題.
如圖(1)一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60 cm,A,C之間的距離是200 m,B,D間的距離為250 m,C,D間距離為2000 m,P點與A點間、Q點與B點間分別用直線式橋索相連結(jié),立柱PC,QD間可以近似的看作是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié),E為頂點,與AB距離為10 m,現(xiàn)有一只江鷗從A點沿著鋼索AP,PEQ,QB走向B點,試寫出從A點走到B點江鷗距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系.
王小明同學(xué)采用先建立直角坐標(biāo)系,再求關(guān)系式的方法,他寫道:
如圖(2),以A點為原點,橋面AB所在直線為x軸,過A點且垂直與AB的直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(200,0),P( ),E( ),D(2200,0),Q( ),B(2450,0).請你先把上面沒有寫全的坐標(biāo)補全,然后在王小明同學(xué)已建立的直角坐標(biāo)系下完整地解決本題.
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,
又因為,又………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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