1．已知，為虛數單位，若，則的值等于

      A．-6        B．-2       C．2         D．6

2．設向量且，則銳角為

      A．          B．         C．        D．

3．是相交”的

      A．充分而不必要條件          B．必要而不充分條件

      C．充分必要條件              D．既不充分也不必要條件

4．函數的圖象大致為

5．設為不重合的平面為不重合的直線，則下列命題正確的是

      A．若

      B．若

      C．若

      D．若

6．關于函數圖象的對稱性，下列說法正確的是

      A．關于直線對稱

      B．關于直線對稱

      C．關于點對稱

      D．關于點對稱

7．右圖是計算函數的值的程度框圖，

   在①、②、③處應分別填入的是

      A．

      B．

      C．

      D．

8．已知直線與直線互相垂直，則的最小值為

      A．5         B．4        C．2         D．1

9．已知函數滿足，且當時，則的大小關系是

      A．           B．

      C．           D．

10．的展開式中，的系數可以表示從個不同物體中選出個方法總數，下列各式的展開式中的系數恰能表示從重量分別為1，2，3，…，10克的砝碼（每種砝碼各一個）中選出若干個，使其總重量恰為8克的方法總數的選項是

      A．

      B．

      C．

      D．

第Ⅱ卷（非選擇題  共100分）

11．為了測算如圖陰影部分的面積，作一個邊為6的正方形將

    其包含在內，并向正方形內隨即投擲800個點，已知恰有

    200個點落在陰影部分內，據此，可估計陰影部分的面積

    是____________。

12．已知滿足約束條件則的最大值是__________。

13．如圖，直線與曲線所圍圖形的面積是____________。

14．在銳角中，角的對邊分別為，且則

    ____________。

15．已知橢圓的中心在原點、焦點在軸上，拋物線的頂點在原點、焦點在軸上。小明從曲線上各取若干個點（每條曲線上至少取兩個點），并記錄其坐標（由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓上，也不在拋物線上，小明的記錄如下：

-2

0

2

3

2

0

   據此，可推斷橢圓的方程為_________。

16．（本小題滿分13分）

在等比數列中，

（1）求數列的通項公式；

（2）令，求數列的前項和。

17．（本小題滿分13分）

    甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨即抽取8次，記錄如下：

                甲 82   81  79  78  95  88  93  84

                乙 92   95  80  75  83  80  90  85

（I）用莖葉圖表示這兩組數據；

（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由；

（Ⅲ）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為，求的分布列及數學期望。

18．（本小題滿分13分）

     四棱錐的底面與四個側面的形狀和大小如圖所示。

（I）寫出四棱錐中四對線面垂直關系（不要求證明）；

（Ⅱ）在四棱錐中，若E為的中點，求證：平面；

（Ⅲ）在四棱錐中，設面與面所成的角為，求的值

19．（本小題滿分13分）

    已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為。

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于，兩

     點，直線與交于點，試問：當

     變化時，點是否恒在一條定直線上？

     若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結

論；若不是，請說明理由。

20．（本小題滿分14分）

已知函數

（I）求函數的極值；

（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱為弦的伴隨切線，特別地，當時，又稱為的伴隨切線。

（i）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（ii）是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由。

21．本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分如果多

做，則按所做的前兩題計分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號

涂黑。并將所選題號填入括號中。

（1）（本小題滿分7分）選修4-2；矩陣與變換

     已知矩陣對應的線性變換把點變成點，求矩陣的特征值以及屬于沒個特征值的一個特征向量。

（2）（本小題滿分7分）選修4-4，坐標系與參數方程

     已知直線經過點，且傾斜角為，圓的參數方程為（是參數），直線與圓交于兩點，求兩點間的距離。

（3）（本小題滿分7分）選修4-5；不等式選將

     解不等式

2009年福建省普通高中畢業(yè)班質量檢查

理科數學試題參考解答及評分標準

說明：

1．C    2．B   3．A    4．C   5．D   6．D   7．B   8．C   9．B   10．A

11．9      12．5    13．       14．       15．

16．本小題主要考查等比數列、數列求和等基礎知識，考查運算求解能力，滿分13分。

解：（I）設等比數列的公比為

        依題意，得

        解得

        數列的通項公式   

  （Ⅱ）由（I）得

17．本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用數學知識分析解決實際問題的能力，滿分13分

解：（I）作出莖葉圖如下：

  （Ⅱ）派甲參賽比較合適，理由如下：

         ，

              ，

         ，

         甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適。

注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分，如

派乙參賽比較合適，理由如下：

從統計的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率，

乙獲得85分以上（含85分）的概率

，派乙參賽比較合適。

     （Ⅲ）記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，

           則

           隨機變量的可能取值為0，1，2，3，且服從，

            所以變量的分布列為

0

1

2

3

         （或）

18．本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關系等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，滿分13分。

解法一：

    （I）如圖，在四棱錐中，平面，

        平面，平面，平面

        注：多寫的按前四對給分，每正確一對，給一分

        平面也符合要求

   （Ⅱ）依題意兩兩垂直，分別以直線，

         ，為軸，建立空間直角坐標系，如圖

          則，

          的中點，點的坐標為（0，0，1），

          。

          設是平面的法向量

         由，即

         取，得為平面的一個法向量

         ，，

         平面，又平面，平面

    （Ⅲ）由（Ⅱ），平面的一個法向量為=（1，1，2）

          又平面，平面的一個法向量為

解法二：

     （I）同解法一。

    （Ⅱ）取的中點，連接，

          分別是的中點，

          ，

           在直角梯形中，

           且且

            四邊形是平行四邊形，

           又平面，平面，

           平面

     （Ⅲ）依題意兩兩垂直，分別以直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖

           則

           設是平面的法向量。

           由 即

           取，得=（1，1，2）為平面的一個法向量

           又平面，平面的一個法向量為

解法三：

       （I）同解法一

      （Ⅱ）取的中點，連接，

            分別是的中點，

            又平面，

            平面

            在直角梯形中，且，

           四邊形是平行四邊形，

           又平面，平面

           平面平面

            又平面平面

      （Ⅲ）同解法二

19．本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形

結合思想和化歸思想等，滿分13分。

解法一：

       （I）設橢圓的方程為

             橢圓的方程是

      （Ⅱ）取，得

            直線的方程是，直線的方程是

            交點為

            若，由對稱性可知交點為

            若點在同一條直線上，則直線只能為

            以下證明對于任意的，直線與的交點均在直線上

            事實上，由

            得即

            記則

            設與交于點由，得

            設與交于點由，得

            即與重合

            這說明，當變化時，點恒在定直線上

解法二：

       （I）同解法一

      （Ⅱ）取，得

            直線的方程是，直線的方程是，

            交點為

            取，得

            直線的方程是，直線的方程是，交點為

            若交點在同一條直線上，則直線只能為

            以下證明對于任意的，直線與的交點均在直線上，

            事實上，有

            得，即

            記則

            的方程是，的方程是

             消去，得

             以下用分析法證明時，①式恒成立。

             要證明①式恒成立，只需證明，

             即證，即證

             ，②式成立。

             這說明，當變化時，點恒在定直線上。

解法三：

        （I）同解法一。

       （Ⅱ）由

             得，即

             記則

             的方程是的方程是

             由得

             即

             這說明，當變化時，點恒在定直線上

20．本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形

結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分14分

解法一：

       （I）
            當時，，函數在內是增函數，

            函數沒有極值

            當時，令得

            當變化時，與變化情況如下表：

+

0

-

單調遞增

極大值

單調遞減

            當時，取得極大值

             綜上，當時，沒有極值；

             當時，的極大值為，沒有極小值

       （Ⅱ）（i）設是曲線上的任意兩點，要證明有伴隨切線，只需證明存在點使得

             ，且點不在上。

          即證存在，使得

           即成立，且點不在上

           以下證明方程在內有解。

           記則

           令

           在內是減函數，

           取則，即

           同理可證

           函數在（）內有零點

           即方程在內有解

        又對于函數取，則，

           可知即點不在上。

           又是增函數，的零點是唯一的，

           即方程在內有唯一解

           綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的

      （ii）取曲線，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

           證明如下：

           設是曲線上任意兩點，

           則

           即曲線的任意一條弦均有伴隨切線

           注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分，若只給

曲線，沒有給出正確的證明，不給分。

解法二：

       （I）同解法一。

      （Ⅱ）（i）設是曲線上的任意兩點，要證明 有伴隨切線，只需證明存在點，，使得

           且點不在上

          即證存在，使得

           即成立，且點不在上

           以下證明方程在內有解

           設

           則

           記

           在內是增函數，

           同理

           方程在內有解

           又對于函數

           可知即點不在上。

           又在內是增函數。

           方程在內有唯一解

           綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的

          （ii）同解法一。

21．（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

           本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎知識，考查運算求解能力，滿分7分

    解：由，得

           矩陣的特征多項式為

           令，得矩陣的特征值

        對于特征值，解相應的線性方程組 得一個非零解

           因此，=是矩陣的屬于特征值的一個特征向量

           注：寫出的特征向量只要滿足，即可

      （2）（本小題滿分7分）選修4-4；坐標系與參數方程

           本小題主要考查圓的參數方程、直線于圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力滿分7分

解法一：

          將圓的參數方程化為普通方程，得

          直線的方程為即

          圓心到直線的距離

          所以

解法二：

          直線的參數方程為即（為參數）

          將圓的參數方程化為普通方程，得

          將直線的參數方程代入圓的普通方程得

          ，即

           兩點間的距離為

       （3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

           本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，滿分7分

        解：當時，原不等式可化為

           ，解得或

            當時，原不等式可化為

            ，解得或

            當時，原不等式可化為

            ，解得

            綜上所述，原不等式的解集為