題目列表(包括答案和解析)
22、(本題滿分18分)對定義域是、的函數(shù)、,規(guī)定:函數(shù).
(1)若函數(shù),,寫出函數(shù)的解析式;
(2)求問題(1)中函數(shù)的值域;
(3)若,其中是常數(shù),且,請設計一個定義域為R的函數(shù),及一個的值,使得,并予以證明.
見理21
21、(本題滿分16分)已知拋物線的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4、且位于軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于軸,垂足為B,OB的中點為M.
(1)求拋物線方程;
(2)過M作,垂足為N,求點N的坐標;
(3)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當是軸上一動點時,討論直線AK與圓M的位置關系.
[思路點撥]本題考查直線與拋物線、直線與圓的位置關系等基礎知識,考查運用解析幾何的方法分析問和解決問題的能力.第(1)(2)問是定量分析,難度不大,而解決(3)的常規(guī)方法之一就是利用點M到直線AK的距離d與圓的半徑比較為宜.
[正確解答] (1) 拋物線y2=2px的準線為x=-,于是4+=5, ∴p=2.
∴拋物線方程為y2=4x.
(2)∵點A是坐標是(4,4), 由題意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,
則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得x=,y=,
∴N的坐標(,).
(1) 由題意得, ,圓M.的圓心是點(0,2), 半徑為2,
當m=4時, 直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離.
當m≠4時, 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,
圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1
∴當m>1時, AK與圓M相離;
當m=1時, AK與圓M相切;
當m<1時, AK與圓M相交.
[解后反思]解答圓錐這部分試題需準確地把握數(shù)與形的語言轉換能力,推理能力,本題計算量并不大,但步步等價轉換的意識要準確無誤.
20、(本題滿分14分)假設某市2004年新建住房面積400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,
(1)該市歷年所建中低價層的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4780萬平方米?
(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?
見理20
19、(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象與軸分別相交于點A、B,(分別是與軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù).
(1)求的值;
(2)當滿足時,求函數(shù)的最小值.
[思路點撥]本題是以向量為背景,解析法為手段,考查解析思想的運用和處理函數(shù)性質(zhì)的方法,考查運算能力和運用數(shù)學模型的能力.
[正確解答] (1)由已知得A(,0),B(0,b),則={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,
==x+2+-5
由于x+2>0,則≥-3,其中等號當且僅當x+2=1,即x=-1時成立
∴的最小值是-3.
[解后反思]要熟悉在其函數(shù)的定義域內(nèi),常見模型函數(shù)求最值的常規(guī)方法.如型.
18、(本題滿分12分)在復數(shù)范圍內(nèi)解方程(為虛數(shù)單位).
[思路點撥]見理18.
[正確解答]原方程化簡為,
設z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
[解后反思]見理18.
17、(本題滿分12分)已知長方體中,M、N分別是和BC的中點,AB=4,AD=2,與平面ABCD所成角的大小為,求異面直線與MN所成角的大小.(結果用反三角函數(shù)值表示)
[思路點撥]見理17.
[正確解答]聯(lián)結B1C,由M、N分別是BB1和BC的中點,得B1C∥MN,
∴∠DB1C就是異面直線B1D與MN所成的角.
聯(lián)結BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB1⊥平面ABCD, ∠B1DB是B1D與平面ABCD所成的角, ∴∠B1DB=60°.
在Rt△B1BD中, B1B=BDtan60°=2,
又DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C,
在Rt△DB1C中, tan∠DB1C=,
∴∠DB1C=arctan.
即異面直線B1D與MN所成角的大小為arctan.
[解后反思]見理17.
16、用個不同的實數(shù)可得到個不同的排列,每個排列為一行寫成一個行的數(shù)陣.對第行,記,.例如:用1,2,3可得數(shù)陣如圖,由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以,,那么,在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中,等于( )
A.-3600 B.1800 C.-1080 D.-720
見理12
15、條件甲:“”是條件乙:“”的( )
A.既不充分也不必要條件B.充要條件 C.充分不必要條件 D.必要不充分條件
[思路點撥]本題考查了充要條件的定義及其判定只要判斷甲乙和乙甲的真假性,利用充要條件將條件乙進行化簡是解決這類問題的關鍵.
[正確解答]解法1:甲乙:,
乙甲:
因此是充要條件,選B
解法2:∵,∴選B
[解后反思]對命題的充要條件、必要條件可以從三個方面理解:①定義法,②等價法,即利用與,與的等價關系,對于條件或結論是否定式的命題一般采用等價法,③利用集合間的包含關系判斷:若則A是B的充分條件或B是A必要條件;若則A是B的充要條件,另外,對于確定條件的不充分性或不必要性往往用構造反例的方法來說明.
14、已知集合,,則等于( )
A. B.
C. D.
見理14.
13、若函數(shù),則該函數(shù)在上是( )
A.單調(diào)遞減無最小值 B.單調(diào)遞減有最小值
C.單調(diào)遞增無最大值 D.單調(diào)遞增有最大值
見理13
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