題目列表(包括答案和解析)
7、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)O),則S200=( A )
A.100 B. 101 C.200 D.201
解:依題意,a1+a200=1,故選A
6、若不等式x2+ax+1³0對于一切xÎ(0,)成立,則a的最小值是( C )
A.0 B. –2 C.- D.-3
解:設(shè)f(x)=x2+ax+1,則對稱軸為x=
若³,即a£-1時(shí),則f(x)在(0,)上是減函數(shù),應(yīng)有f()³0Þ
-£x£-1
若£0,即a³0時(shí),則f(x)在(0,)上是增函數(shù),應(yīng)有f(0)=1>0恒成立,故a³0
若0££,即-1£a£0,則應(yīng)有f()=恒成立,故-1£a£0
綜上,有-£a故選C
5、對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)³0,則必有( C )
A.f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1)
C. f(0)+f(2)³2f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)
解:依題意,當(dāng)x³1時(shí),f¢(x)³0,函數(shù)f(x)在(1,+¥)上是增函數(shù);當(dāng)x<1時(shí),f¢(x)£0,f(x)在(-¥,1)上是減函數(shù),故f(x)當(dāng)x=1時(shí)取得最小值,即有
f(0)³f(1),f(2)³f(1),故選C
4、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A是拋物線上一點(diǎn),若=-4
則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(B )
A.(2,±2) B. (1,±2) C.(1,2)D.(2,2)
解:F(1,0)設(shè)A(,y0)則=( ,y0),=(1-,-y0),由
· =-4Þy0=±2,故選B
3、若a>0,b>0,則不等式-b<<a等價(jià)于( D )
A.<x<0或0<x< B.-<x< C.x<-或x> D.x<或x>
解:
故選D
2、已知復(fù)數(shù)z滿足(+3i)z=3i,則z=( D )
A. B. C. D.
解:故選D
1、已知集合M={x|},N={y|y=3x2+1,xÎR},則MÇN=( C )
A.Æ B. {x|x³1} C.{x|x>1} D. {x| x³1或x<0}
解:M={x|x>1或x£0},N={y|y³1}故選C
21.(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列、、滿足:,(n=1,2,3,…),
證明:為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…)
[考點(diǎn)分析:本題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力]
[證明]必要性:設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則:
==-=0,
∴(n=1,2,3,…)成立;
又=6(常數(shù))(n=1,2,3,…)
∴數(shù)列為等差數(shù)列。
充分性:設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且(n=1,2,3,…),
∵……① ∴……②
①-②得:=
∵
∴……③ 從而有……④
④-③得:……⑤
∵,,,
∴由⑤得:(n=1,2,3,…),
由此,不妨設(shè)(n=1,2,3,…),則(常數(shù))
故……⑥
從而……⑦
⑦-⑥得:,
故(常數(shù))(n=1,2,3,…),
∴數(shù)列為等差數(shù)列。
綜上所述:為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…)。
20.(本小題滿分16分,第一小問4分,第二小問滿分6分,第三小問滿分6分)
設(shè)a為實(shí)數(shù),記函數(shù)的最大值為g(a)。
(Ⅰ)設(shè)t=,求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)試求滿足的所有實(shí)數(shù)a
[考點(diǎn)分析:本題主要考查函數(shù)、方程等基本知識(shí),考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力]
[解](I)∵,
∴要使有意義,必須且,即
∵,且……① ∴的取值范圍是。
由①得:,∴,。
(II)由題意知即為函數(shù),的最大值,
∵直線是拋物線的對稱軸,∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論:
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),的圖象是開口向上的拋物線的一段,
由知在上單調(diào)遞增,故;
(2)當(dāng)時(shí),,,有=2;
(3)當(dāng)時(shí),,函數(shù),的圖象是開口向下的拋物線的一段,
若即時(shí),,
若即時(shí),,
若即時(shí),。
綜上所述,有=。
(III)當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,,∴,
,故當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,由知:,故;
當(dāng)時(shí),,故或,從而有或,
要使,必須有,,即,
此時(shí),。
綜上所述,滿足的所有實(shí)數(shù)a為:或。
19.(本小題滿分14分,第一小問滿分4分,第二小問滿分5分,第三小問滿分5分)
在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖1)。將△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連結(jié)A1B、A1P(如圖2)
(Ⅰ)求證:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。
(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函數(shù)表示)
[考點(diǎn)分析:本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等,考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力]
[解]不妨設(shè)正三角形的邊長為3,則
(I)在圖1中,取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF,
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o,∴△ADF為正三角形。
又AE=DE=1,∴EF⊥AD。
在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的一個(gè)平面角,
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,∴A1E⊥BE。
又BEEF=E,∴A1E⊥面BEF,即A1E⊥面BEP。
(II)在圖2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是面A1BP的斜線,又A1E⊥面BEP,∴A1E⊥BP,∴BP垂直于A1E在面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)
設(shè)A1E在面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于Q,
則∠EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q。
在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60o,∴△EBP為正三角形,∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP,∴A1B=A1P,∴Q為BP的中點(diǎn),且EQ=,而A1E=1,
∴在Rt△A1EQ中,,即直線A1E與面A1BP所成角為60o。
(III)在圖3中,過F作FM于M,連結(jié)QM、QF。
∵CF=CP=1,∠C=60o,∴△FCP為正三角形,故PF=1,
又PQ=BP=1,∴PF=PQ……①
∵A1E⊥面BEP,EQ=EF=,∴A1F=A1Q,
∴△A1FP△A1QP,故∠A1PF=∠A1PQ……②
由①②及MP為公共邊知△FMP△QMP,故∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
∴∠FMQ為二面角B-A1P-F的一個(gè)平面角。
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,∴A1P=,
∵M(jìn)Q⊥A1P,∴MQ=,∴MF=。
在△FCQ中,F(xiàn)C=1,QC=2,∠C=60o,由余弦定理得QF=,
在△FMQ中,,
∴二面角B-A1P-F的的大小為。
[注]此題還可以用向量法來解。(略)
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