湖南省長沙市一中2009年高考第一次模擬考試
理科數(shù)學(xué)
時量 150分鐘 滿分 150分
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分。各小題所給的四個選項中只有一項是符合題目要求的。)
1.已知集合A = {(x,y)|y =x2,x∈R},B = {(x,y)|y =x,x∈R },則A∩B中的元素個數(shù)為( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.無窮多個
2.已知{}是公比為q的等比數(shù)列,且成等差數(shù)列,則q = ( )
A. B. C.2 D.1
3.點(tan2009°,cos2009°)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知數(shù)列{an}的通項公式an =(n∈N*),設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則使Sn<?5成立的自然數(shù)n( )
A.有最大值63 B.有最小值
5.若對于任意的實數(shù)x,有x3 = a0 + a1(x ? 2) + a2 (x ? 2)2 + a3 (x ? 2)3,則a2的值為( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.球面上有三點A、B、C,任意兩點之間的球面距離等于球大圓周長的四分之一,且過這三點的截面圓的面積為4,則此球的體積為( )
A. B. C. D.
7.已知F1、F2為橢圓E的左、右焦點,拋物線C以F1為頂點,F(xiàn)2為焦點,設(shè)P為橢圓與拋物線的一個交點,如果橢圓的離心率為e,且|PF1| = e|PF2|,則e的值為( )
A. B. C. D.
8.設(shè)函數(shù)f(x) =,[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),則函數(shù)[f(x) +] +[f(?x) +]的值域是( )
A.{3} B.{3,4} C.{2,3} D.{4}
二、填空題(本大題共7小題,每小題5分,共35分。將各題的最后結(jié)果寫在題答卷對應(yīng)的橫線上。)
9.已知a為實數(shù)數(shù),則的值為 .
10.已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,且AB =2,AC =3,則sinC的值是_____.
11.若不等式對于任意的恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為___________
12.將三種農(nóng)作物種植在如圖所示的5塊試驗田里,每一塊種植一種農(nóng)作物,同一種農(nóng)作物種在相鄰的試驗田中,不同的種植方法有 .
13.把正奇數(shù)數(shù)列1,3,5,7…中的數(shù)按上小下大,左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表
請判斷2009是該三角形數(shù)表中第 行的第 個數(shù).
14.給出平面陰影區(qū)域(包括邊界)如圖所示
(Ⅰ)要使目標函數(shù)z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解
有無窮多個,則a的取值為_____.
(Ⅱ)要使目標函數(shù)z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解
有且僅有一個點A(3,2),則a的取值范圍 ______.
15.一種計算裝置,有一個數(shù)據(jù)入口A和一個運算出口B,執(zhí)行某種運算程序。當從A口輸入自然數(shù)1時,從B口得到實數(shù),記為;當從A口輸入自然數(shù)時,在B口得到的結(jié)果是前一結(jié)果的倍。則(i)當從A口輸入3時,從B口得到_______;(ii)要想從B口得到,則應(yīng)從A口輸入自然數(shù) .
三、解答題(本大題共6個小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.(12分)已知向量,,f(x) =.
(Ⅰ)求函數(shù)y = f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知g (x) = 2sin2x + 1,將函數(shù)y = g (x)的圖象按向量平移后得到函數(shù)y = f(x)的圖象,求||的最小值.
17.(12分)某單位小會議室里的3只白熾燈泡已壞,電工李師傅前往會議室更換。若所帶燈泡包裝盒中共有6只燈泡(外觀形狀完全一樣),其中4只好的,2只壞的。李師傅每次隨機從包裝盒中任取一只(每只被取的概率相同),若取出的燈泡是好的,則將其更換小會議室已壞的燈泡,若取出的燈泡是壞的,則不再放回包裝盒,也不能用它更換小會議室已壞的燈泡.
(Ⅰ)求李師傅第二次所取的燈泡是好的的概率;
(Ⅱ)設(shè)李師傅全部更換了小會議室的3只已壞燈泡時,從包裝盒中所取燈泡次數(shù)為,求的分布列和期望.
18.(12分)在如圖所示的多面體中,底面△ABC是邊長為2的正三角形,DA和EC均垂直于平面ABC,且DA = 2,EC = 1.
(Ⅰ)求點A到平面BDE的距離;
(Ⅱ)求二面角B?ED?A的正切值.
19.(13分)長沙市年嘉湖隧道的開通,既緩解了車站北路與營盤東路之間的交通壓力,也縮短了交通時間,但為了交通安全,市交通部門對隧道內(nèi)行駛的車輛作如下規(guī)定:①最高時速不超過60公里/小時;②行使車輛之間的車距d是車速v(公里/小時)的平方與車身長s(米)的積成正比,比例系數(shù)為k(k>0);③按②的要求行駛,若車距小于車身長的一半時,則規(guī)定車距為。
現(xiàn)假定車輛的車身長約為s米,當車速為50km/小時時,車距恰好為該車的車身長。
(Ⅰ)試寫出d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式(其中s為常數(shù));
(Ⅱ)問應(yīng)按怎樣的車速,才能使車流量Q =最大.
20.(13分)已知橢圓C的中心為坐標原點O,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為,點Q在橢圓C上且滿足條件:= 2,? 2.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點,且滿足OA⊥OB,若(∈R)且,試問:是否為定值.若為定值,請求出;若不為定值,請說明理由。
21.(13分)已知函數(shù)f (x) = lnx,g (x) =(a>0),設(shè)F(x) = f (x) + g (x).
(1)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若點為函數(shù)的圖象上任意一點,當時,點P處的切線的斜率k≤恒成立,求實數(shù)a的最小值;
(3)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)y = g() + m ? 1的圖象與函數(shù)y = f (1 + x2)的圖象恰有四個不同的交點?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,說明理由.
答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
B
D
`A
B
9.-i 10. 11. 12. 36 13. 45 15
14. 15.
16.(12分)【解析】
(Ⅰ)f(x) ==……4分
解不等式(k∈Z)得x∈(k∈Z)
解不等式(k∈Z)得x∈(k∈Z)……6分
所以函數(shù)y = f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(k∈Z),
單調(diào)減區(qū)間是(k∈Z).……7分)
(Ⅱ)函數(shù)y = g(x)按向量= (h,k)平移后,
得到函數(shù)y = 2sin2(x ? h) + 1 + k = 2sin(2x +)……9分
∴ ……11分
當n = 0時,. ……12分
17.(12分)【解析】(Ⅰ)李師傅第一次所取燈泡是好的,第二次所取燈泡也是好的的概率P1 =;李師傅第一次所取燈泡是壞的,第二次所取的燈泡是好的的概率P2=;所以李師傅第二次所取的燈泡是好的的概率為P1 + P2 =. ……4分
(Ⅱ)= 3,4,5. ……5分P,P,P.(只考察壞燈泡的組合情況)9分
3
4
5
P
所以的分布列為
……10分
期望E=.……12分
18.(12分)【解析】(Ⅰ)∵DE = BE =,BD =,
∴S△BDE =,設(shè)點A到平面BDE的距離為h.
又∵S△ABC =,VD?ABC = VA?BDE
∴ ∴h =
即點A到平面BDE的距離為. ……6分
(Ⅱ)∵DA⊥平面ABC,∴平面DACE⊥平面ABC
取AC的中點M,連結(jié)BM,則BM⊥AC,BM⊥平面DACE.
過M作MN⊥DE,交DE于N,連結(jié)BN,則BN⊥DE,
∴∠BNM是所求二面角的平面角.
設(shè)AC、DE的延長線相交于點P,∵DA = 2EC,∴CP = 2
由△MNP∽△DAP得,MP = 3,DA = 2
DP =,∴MN =
又∵BM =,∴tan∠BNM =. ……12分
應(yīng)用空間向量求解參照計分
19.(13分)【解析】(Ⅰ)依題意可得d = kv2s.
當v = 50時,d = s,解得k =,∴d =v2s. ……3分
當d =時,解得v = 25. ……4分
所以d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式是:d =…… 6分
(Ⅱ)
當0<v≤25,取v =25時,Q的最大值為; ……8分
當25<v≤60時,Q =.
當且僅當v = 50時取等號. ……11分
又∵ ……12分
∴按50km/小時的速度行駛,車流量大. ……13分
20.(13分)【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為,∵e =,∴a = 2c
∴,.
又?2 ∴cos∠F1QF2 =.
由|F1F2|2 = |QF1|2 + |QF2|2 ? 2|QF|?|QF2|cos∠F1QF2得a = 2,c = 1,b2 = 3
∴橢圓C的方程為. ……5分
(Ⅱ)依題意可知,點M為由點O向直線AB所作的垂線的垂足.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
(1)當x1 = x2時,直線OA、OB的斜率分別為±1,解方程組得x =±.
∴. ……6分
(2)當x1≠x2時,設(shè)AB的直線方程為:y = kx + m,代入得
(3 + 4k2)x2 + 8mkx + 4m2 ? 12 = 0
x1 + x2 =,x1?x2 = ……8分
∵,∴=
∴7m2 = 12 (k2 + 1) ∴ ……11分
又∵.
綜上所述. ……13分
21.(13分)【解析】(1)F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x>0),F(xiàn)′(x) =.
∵a>0,由F′(x)>0x∈(a,+∞),∴F(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增.
由F′(x)<.0x∈(0,a),∴F(x)在(0,a]上單調(diào)遞減.
∴F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a],單調(diào)遞增區(qū)間為[a,+∞). ……3分
(2)F′(x) =,k = F′(x0) =≤(0<x0≤3)
恒成立,
當x0 = 1時,取得最大值.
∴a≥,∴amin =. ……6分
(3)若y = g+ m ? 1 =x2 + m ?的圖象與y = f (1 + x2) = ln(x2 +1)的圖象恰有四個不同的交點,即有四個不同的根,亦即m = ln(x2 + 1) ?x2 +有四個不同的根.
令G(x) = ln(x2 + 1) ?,則G′(x) =? x =
當x變化時,G′(x)、G (x)的變化情況如下表:
x
(?∞,?1)
(?1,0)
(0,1)
(1,+∞)
G′(x)的符號
+
?
+
?
G (x)的單調(diào)性
增
減
增
減
……10分
由表格知:G (x)極小值 = G (0) =,G (x)極大值 = G (1) = G (?1) = ln2>0, ……11分
畫出草圖和驗證G(2) = G(?2) = ln5 ? 2 +<可知,當m∈(,ln2)時,y = G (x)與y = m恰有四個不同的交點.
∴當m∈(,ln2)時,y =+ m ? 1的圖象與y = f (1 + x2)的圖象恰有四個不同的交點. ……13分
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