甘肅省蘭州市2009年高三年級(jí)診斷考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分�？荚嚂r(shí)間120分鐘。

注：請(qǐng)把第I卷1―12小題正確答案的選項(xiàng)填寫在試卷答題卡上。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么             P(A+B)=P(A)+P(B)                        

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么         P(A?B)=P(A)?P(B)                   

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率         

球的表面積公式      其中R表示球的半徑

球的體積公式         其中R表示球的半徑

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．已知集合為            （    ）

       A．{1，2，3，4}     B．{1，3，4，5}     C．{2，3，4，5}     D．{1，2，3，4，5}

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2．函數(shù)的最大值是                        （    ）

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       A．2                        B．1                        C．                  D．

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3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，命題處取得極值，則的                （    ）

       A．充分不必要條件                                 B．必要不充分條件

       C．充要條件                                           D．既不充分又不必要條件

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4．已知復(fù)數(shù)有（    ）

       A．第一象限            B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限

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5．設(shè)隨機(jī)變量，則的值是                         （    ）

       A．8                        B．6                        C．4                        D．2

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6．下列結(jié)論正確的是                                                                                             （    ）

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       A．當(dāng)      B．當(dāng)

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       C．當(dāng)的最小值是2           D．當(dāng)無最大值

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       A．1                        B．

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       C．                   D．

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8．已知設(shè)的圖象是                                                    （    ）

       A．過原點(diǎn)的一條直線                             B．不過原點(diǎn)的一條直線

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       C．對(duì)稱軸為軸的拋物線                      D．對(duì)稱軸不是軸的拋物線

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9．在等差數(shù)列等于                         （    ）

       A．20                      B．100                     C．25                      D．50

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10．已知直線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，圓C的圓心的坐標(biāo)原點(diǎn)，且與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則圓C的半徑的取值范圍是                                                    （    ）

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       A．      B．       C．      D．

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11．從數(shù)字0，1，2，3，5，7，8，11中任取3個(gè)分別作為中的A，B，C（A，B，C互不相等）的值，所得直線恰好經(jīng)過原點(diǎn)的概率為                  （    ）

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       A．                  B．                      C．                    D．

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12．已知定直線的距離為2。則動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡的離心率是                                                                     （　　）

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       A．                   Ｂ．                  C．１                      D．

 

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

 

20090318

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二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。將符合題意的答案填在題后的橫線上）

14．若的系數(shù)為　　　　　　　　　　。（用數(shù)字作答）

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15．已知點(diǎn)P、Q是的取值范圍是     。

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16．設(shè)

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則     。

 

 

 

 

 

 

 

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三、解答題（本大題共6小 題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．（10分）已知函數(shù)的最小正周期為

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   （I）求的值；

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   （II）在角A、B、C的對(duì)邊分別是求函數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

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18．（12分）2008年北京奧運(yùn)會(huì)志愿者中有這樣一組志愿者：有幾個(gè)人通曉英語，還有幾個(gè)人通曉俄語，剩下的人通曉法語，已知從中任抽一人是通曉英語的人的概率為，是通曉俄語的人數(shù)的概率為，是通曉法語的人的概率為，且通曉法語的人數(shù)不超過3人�，F(xiàn)從這組志愿者中選出通曉英語、俄語和法語的志愿者各1名。

   （I）求這組志愿者的人數(shù)；

   （II）若A通曉英語，求A被選中的概率；

   （III）若B通曉俄語，C通曉法語，求B和C不全被選中的概率。

20090318

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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   （I）求證：平面PAD；

   （II）求點(diǎn)A到平面PEF的距離；

   （III）求二面角E―PF―A的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（12）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其且為等比數(shù)列，且是公比為64的等比數(shù)列。

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   （I）求的通項(xiàng)公式；

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   （II）求證：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系的距離之比為。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C。

   （I）寫出C的方程；

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   （II）設(shè)直線的值。

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   （III）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（12分）已知函數(shù)

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   （I）若函數(shù)的值；

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   （II）設(shè)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

 

一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分。在每小題經(jīng)出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。））

1―5DCBAC  6―10BCADB  11―12BB

二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。將符合題意的答案填在題后的橫線上）

13．2   14．70  15．  16．

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．解：（I）…………4分

      

       …………6分

   （II）

      

               

       …………8分

      

      

       …………10分

18．解：（I）設(shè)通曉英語的有人，

       且…………1分

       則依題意有：

       …………3分

       所以，這組志愿者有人�！�4分

   （II）所有可能的選法有種…………5分

       A被選中的選法有種…………7分

       A被選中的概率為…………8分

   （III）用N表示事件“B，C不全被選中”，則表示事件“B，C全被選中”……10分

       則…………11分

       所以B和C不全被選中的概率為……12分

       說明：其他解法請(qǐng)酌情給分。

   （I），

       AD為PD在平面ABC內(nèi)的射影。

       又點(diǎn)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，

      

       在中，由于AB=AC，故

       ，平面PAD……4分

   （II）設(shè)EF與AD相交于點(diǎn)G，連接PG。

       平面PAD，dm PAD,交線為PG，

       過A做AO平面PEF，則O在PG上，

       所以線段AO的長為點(diǎn)A到平面PEF的距離

       在

      

       即點(diǎn)A到平面PEF的距離為…………8分

       說 明：該問還可以用等體積轉(zhuǎn)化法求解，請(qǐng)根據(jù)解答給分。

   （III）

       平面PAC。

       過A做，垂足為H，連接EH。

       則

       所以為二面角E―PF―A的一個(gè)平面角。

       在

      

       即二面角E―PF―A的正切值為

       …………12分

       解法二：

      

AB、AC、AP兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

       則A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F(xiàn)（0，2，0），P（0，0，2）……2分

<table id="xofnf"></table>
<samp id="xofnf"><label id="xofnf"></label></samp>
  • 
   
    
    
    
    
    
           且
           
           
           平面PAD
       （II）為平面PEF的一個(gè)法向量，
           則
           令…………6分
           故點(diǎn)A到平面PEF的距離為：
           
           所以點(diǎn)A到平面PEF的距離為…………8分
       （III）依題意為平面PAF的一個(gè)法向量，
           設(shè)二面角E―PF―A的大小為（由圖知為銳角）
           則，…………10分
           即二面角E―PF―A的大小…………12分
    20．解：（I）依題意有：  ①
           所以當(dāng)  ②……2分
           ①-②得：化簡得：
           
           
           
           所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列�！�4分
           故…………5分
           設(shè)
           是公比為64的等比數(shù)列
           
           …………8分
       （II）……9分
           …………10分
           …………11分
           …………12分
    21．解：（I）設(shè)，則依題意有：
           
           故曲線C的方程為…………4分
           注：若直接用
           得出，給2分。
       （II）設(shè)，其坐標(biāo)滿足
           
           消去…………※
           故…………5分
           
           而
           
           化簡整理得…………7分
           解得：時(shí)方程※的△>0
           
       （III）
           
           
           
           因?yàn)锳在第一象限，故
           由
           故
           即在題設(shè)條件下，恒有…………12分
    22．解：（I）…………3分
           處的切線互相平行
           …………5分
           
           …………6分
       （II）
           
           令
           
           
           當(dāng)
           是單調(diào)增函數(shù)�！�9分
           
           
           
           恒成立，
           …………10分
           值滿足下列不等式組
            ①，或②
           不等式組①的解集為空集，解不等式組②得
           綜上所述，滿足條件的…………12分
     
     
     
     
    
				
	
    
		
    


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