北京市2009屆高三第二次模擬考試

數學理科

(試卷總分150分 考試時間120分鐘)

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的.)

1.的值是(     )

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A.                B.             C.           D.

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2.設,則(     )

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A.       B.     C.   D.

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3.已知集合,集合,則(     )

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A.           B.            C.         D.

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4.已知向量,,則共線是共線的(    )

A. 充分不必要條件  B. 必要不充分條件  C.充要條件D. 既不充分也不必要條件

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5.已知正項等差數列的前6項和為9,成等比數列,則數列的公差為(    )

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A.       B.          C.     D.

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6.若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的,則此雙曲線的離心率是(   )

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A.               B.            C.              D.

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7.設、為正實數,則下列不等式恒成立的是(  )

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;②;③;④。

A. ①③            B. ②③④             C. ①③④            D. ①②③

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8.設展開式的中間項,若在區(qū)間上恒成立,則實數的取值范圍是(   )

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A.          B.          C.             D.

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9.函數的最小值是(    )

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A.              B.                C.              D.

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10.用平面截半徑為的球,若截面圓的內接正三角形的邊長亦為,則三棱錐的體積為(      )

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A.             B.                C.            D.

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學科網(Zxxk.Com)11.設是函數的反函數,則的大小關系為(    )

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A.        B.

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C.        D

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12.直線將圓面分成若干塊,現用5種顏色給這若干塊涂色,每塊只涂一種顏色,且任意兩塊不同色,共有120種涂法,則m的取值范圍是                               (    )

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A.    B.

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C.   D.

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

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二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把正確的答案填在指定位置上)

學科網(Zxxk.Com)13.若實數滿足,則的最大值為            

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學科網(Zxxk.Com)14已知數列的前項和比集合的子集個數少1,則            

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15.如圖,正四面體中,是底面上的高,的中點,則所成角的余弦值為             。

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16,已知點的準線與軸的交點,點為焦點,點為拋物線上兩個點,若,則向量的夾角為             。

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三.解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟).17.(本小題滿分10分)

已知的內角的對邊分別為,其中,,

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(Ⅰ)若,求的值;

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(Ⅱ)若,求的面積。

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18. (本小題滿分12分)

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高中會考成績分A,B,C,D四個等級,其中等級D為會考不合格,某學校高三學生甲參加語文、數學、英語三科會考,三科會考合格的概率均為,每科得A,B,C,D 四個等級的概率分別為,

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(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若有一科不合格,則不能拿到高中畢業(yè)證,求學生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率;

(Ⅲ)若至少有兩科得A,一科得B,就能被評為三好學生,則學生甲被評為三好學生的概率;

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(Ⅳ)設為學生甲會考不合格科目數,求的分布列及的數學期望

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19.(本小題滿分12分)

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已知函數為常數).

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(Ⅰ)當時,求的極值;

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(Ⅱ)若在定義域上是增函數,求實數的取值范圍.

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20.(本小題滿分12分)

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學科網(Zxxk.Com)已知四棱錐的底面為直角梯形,底面,,點、分別在棱上,且平面,

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(Ⅰ)求證:

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(Ⅱ)求二面角的正切值的大。

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(Ⅲ)求與平面所成角正切值的大小。

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21.(本小題滿分12分)

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已知雙曲線的離心率為,過右焦點做漸近線的平行線 交雙曲線與點,若

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(Ⅰ)求雙曲線的方程;

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(Ⅱ)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點,且

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其中為原點,求的范圍。

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22.(本小題滿分12分)

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為數列的前項和且滿足,若,

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(Ⅰ)求數列的通項公式;

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(Ⅱ)設,求數列的前項和;

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(Ⅲ)設,求證:。

 

 

 

 

 

 

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1.解析:,故選A。

2.解析:∵

,

故選B。

3.解析:由,得,此時,所以,,故選C。

4.解析:顯然,若共線,則共線;若共線,則,即,得,∴共線,∴共線是共線的充要條件,故選C。

5.解析:設公差為,由題意得,,解得,故選C。

6.解析:∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的,∴,又∵,∴,∴,∴雙曲線的離心率是。故選B.

7.解析:∵、為正實數,∴,∴;由均值不等式得恒成立,,故②不恒成立,又因為函數是增函數,∴,故恒成立的不等式是①③④。故選C.

8.解析:∵,∴在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,∴,故選D。

9.解析:∵

,此函數的最小值為,故選C。

10.解析:如圖,∵正三角形的邊長為,∴,∴,又∵,∴,故選D。

11.解析:∵在區(qū)間上是增函數且,∴其反函數在區(qū)間上是增函數,∴,故選A

12.解析:如圖,①當時,圓面被分成2塊,涂色方法有20種;②當時,圓面被分成3塊,涂色方法有60種;

③當時,圓面被分成4塊,涂色方法有120種,所以m的取值范圍是,故選A。

13.解析:做出表示的平面區(qū)域如圖,當直線經過點時,取得最大值5。

學科網(Zxxk.Com)14.解析:∵,∴時,,又時,滿足上式,因此,,

。

學科網(Zxxk.Com)15.解析:設正四面體的棱長為,連,取的中點,連,∵的中點,∴,∴或其補角為所成角,∵,,∴,∴,又∵,∴,∴所成角的余弦值為。

學科網(Zxxk.Com)16.解析:∵,∴,∵點的準線與軸的交點,由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知,點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖,其中為點到準線的距離,四邊形為菱形,∴,∴,∴,∴,∴,∴向量的夾角為

17.(10分)解析:(Ⅰ)由正弦定理得,,,…2分

,,………4分

(Ⅱ)∵,,∴,∴,………………………6分

又∵,∴,∴,………………………8分

!10分

18.解析:(Ⅰ)∵,∴;……………………理3文4分

(Ⅱ)∵三科會考不合格的概率均為,∴學生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率;……………………理6文8分

(Ⅲ)∵每科得A,B的概率分別為,∴學生甲被評為三好學生的概率為!12分

(理)∵,,!9分

的分布列如下表:

0

1

2

3

的數學期望。……………………12分

19.(12分)解析:(Ⅰ)時,

,

    

得,   ………3分

 

 

+

0

0

+

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

,      ………………………6分

(Ⅱ)在定義域上是增函數,

恒成立,即 

   ………………………9分

(當且僅當時,

               

 ………………………4分

學科網(Zxxk.Com)              

20.解析:(Ⅰ)∵,,∴,∵底面,∴,∴平面,∴,又∵平面,∴,∴平面,∴。………………………4分

(Ⅱ)∵平面,∴,,∴為二面角的平面角,………………………6分

,,∴,又∵平面,∴,∴二面角的正切值的大小為!8分

(Ⅲ)過點,交于點,∵平面,∴在平面內的射影,∴與平面所成的角,………………………10分

學科網(Zxxk.Com),∴,又∵,∴與平面所成的角相等,∴與平面所成角的正切值為!12分

解法2:如圖建立空間直角坐標系,(Ⅰ)∵,,∴點的坐標分別是,,,∴,,設,∵平面,∴,∴,取,∴,∴!4分

(Ⅱ)設二面角的大小為,∵平面的法向量是,平面的法向量是,∴,∴,∴二面角的正切值的大小為!8分

(Ⅲ)設與平面所成角的大小為,∵平面的法向量是,,∴,∴,∴與平面所成角的正切值為!12分

21.(Ⅰ) 解析:如圖,設右準線軸的交點為,過點


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