512. 以四面體各面的重心為頂點構成一個新的四面體.求這兩個四面體的表面積的比.
解析:因相似多面體全面積的比等于對應邊的平方的比,故只須求出對應邊的比.
∵B1D1=EF=BD,
∴=.
同理,=====,
故ABCD和A′B′C′D′是相似多面體,其表面積的比為1∶9.
511. 已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為6的正方形,SA⊥底面ABCD,且SA=8,M是SA的中點,過M和BC作截面交SD于N.
(1)求證:截面MBCN是梯形,并求截面的面積;
(2)求截面MBCN與底面ABCD的夾角α.
解析:(1)先證MN∥BC且MN≠BC.因為BC∥AD,所以AD∥截面MBCN,從而
AD∥MN,BC∥MN.
又MN=AD=BC,所以MN≠BC.于是MN和BC平行但不相等,故MBCN是梯形.
再求截面的面積:SA⊥平面ABCD.易證MN和BC都垂直于平面ABS.所以MB⊥MN,MB⊥BC,故
S截=(MN+BC)·MB
=(3+6)=9.
(2)首先要找到二面角的平面角.根據上面的證明,知∠MBA的是截面與底面所成二面角的平面角,即∠MBA=α.于是
tanα===
∴α=arctan
510. 棱錐被平行于底的平面分成體積相等的三部分.求這棱錐的高被分成三部分的比.
解析:設棱錐的高為h,它被截成的三部分自上而下設為h1,h2,h3,則有
()3=,()3=2,()3=.
所以h1=h,h2=(-1)h1=(-1)h,
h3=h.
所以h1∶h2∶h3=1∶(-1)∶(-).
說明 求體積之比或面積之比常用相似比.
509. 已知三棱錐S-ABC的底面面積是a,三棱錐的高是h,M、N、P、Q分別是SB、SC、AC、AB的中點,求五面體MN-PQBC的體積
解析: 如圖,過M作MD∥BA交SA于D,則D是SA的中點,連結ND,則ND∥AC
所求五面體MN-PQBC的體積等于原三棱錐的體積與五面體SA-MQPN的體積之差
而VS-ABC=ah,
VS-DMN=·a·=ah,
V三棱主柱DMN-APQ=S△AQP·h=ah,
∴VMN-PQBC=VS-ABC-VSA-MQPN
=ah-(ah+ah)
=ah
508. 三棱錐A-BCD中,AC=BD,AD=BC,AB=CD,三個側面與底面所成的二面角分別為α、β、,則cosα+cosβ+cos= .
解析:如圖所示,設AC=BD=a,AD=BC=b,AB=CD=c
由已知所有側面三角形和底面三角形都是全等的三角形.
記為S,側面在底面的射影分別為S1、S2、S3
則=cosα, =cosβ, =cos
cosα+cosβ+cos===1
507. 下列命題中是真命題的是( )
A.底面是正方形的棱錐是正四棱錐
B.各條側棱都相等的棱錐是正棱錐
C.由一個面是多邊形,其余各個面是三角形所圍成的幾何體是棱錐
D.正四面體是正三棱錐
解析: 解此題時概念要明確,正棱錐不僅要求底面是正多邊形,而且還要求其頂點在底面的射影是底面的中心,所以A、B不正確,C中的各三角形沒有指明共頂點,C也不正確,D是真命題,所以選D.
506. 在空間中,
、偃羲狞c不共面,則這四點中任何三點都不共線.
、谌魞蓷l直線沒有公共點,則這兩條直線是異面直線.
以上兩個命題中,逆命題為真命題的是__________.
(把符合要求的命題序號都填上)
解析:②.①的逆命題為:空間四點中若任何三點都不共線,則這四點不共面.此命題是假命題.平行四邊形的四個頂點是其反例.
、诘哪婷}為:若兩條直線是異面直線,則這兩條直線沒有公共點,可知此命題為真命題.
505. 如圖9-19,在棱長為a的正方體ABCD-中,O是AC、BD的交點,E、F分別是AB與AD的中點.
圖9-19
(1)求異面直線與所成角的大;
(2)求異面直線EF與所成角的大;
(3)求異面直線EF與所成角的正切值;
(4)求異面直線EF與的距離.
解析:(1)∵ ∥AC,∴ 與AC所成的銳角或直角就是與所成的角,連結、,在△和△,∵ =,,,∴△≌△,∴.∴△是等腰三角形.∵ O是底邊AC的中點,∴ ,故與所成的角是90°.
(2)∵ E、F分別是AB、AD中點,∴ EF∥BD,又∵ ∥AC,∴ AC與BD所成的銳角或直角就是EF與所成的角.∵ 四邊形ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,∴ EF與所成的角為90°
(3)∵ EF∥BD,∴ 為異面直線EF與所成的角.∵ 四邊形是正方形,∴ ,∴ 在Rt△中,,==,∴ ,即EF與所成角的正切值為.
(4)∵ EF∥BD,BD⊥AC,∴ EF⊥AC,設交點為G.∵ ⊥AC(由(1)
知)于O,則AC是異面直線EF與的公垂線,OG的長即為EF與間的距離,由于G是OA中點,O是AC中點,且,∴ ,即EF與間的距離為.
504. 如圖9-18,已知P為△ABC所在平面外一點,PC⊥AB,PC=AB=2,E、F分別為PA和BC的中點.
(1)求證:EF與PC是異面直線;
(2)EF與PC所成的角;
(3)線段EF的長.
解析:(1)用反證法.假設EF與PC共面于a,則直線PE、CF共面a,則A∈a,B∈a,于是P與A、B、C共面于a,這與已知“P是平面ABC外一點”矛盾.故EF與PC是異面直線.
(2)取PB中點G,連結EG、FG,由E、F分別是線段PA、BC中點,有EGAB,GFPC ∴ ∠GFE為異面直線EF與PC所成的角,∠EGF是異面直線PC與AB所成的角,∵ PC⊥AB,∴ EG ⊥GF,即∠EGF=90°.∵ PC=AB=2,∴ EG=1,GF=1,故△EFG是等腰直角三角形,∴ ∠GFE=45°,即EF與PC所成的角是45°.
(3)由(2)知Rt△EGF中EG=1,GF=1,∠EGF=90°,∴ EF=
503. 借助兩支鉛筆,試研究以下問題:
(1)在平面內,過直線外一點有多少條直線與已知直線平行?在空間呢?
圖9-17
(2)在一個平面內,過一點有多少條直線與已知直線垂直?在空間呢?
(3)在一個平面內,與該平面內的已知直線所成角為60°的直線有多少條?這些直線與已知直線的位置關系如何?在空間,與一條直線所成角為60°的直線有多少條?這些直線與已知直線的位置關系如何?
解析:(1)在一個平面內,過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行;在空間也如此.
(2)在一個平面內,過一點(該點可在直線上,也可在直線外)有且只有一條直線與已知直線垂線;在空間過直線上或直線外一點都有無數條直線和已知直線垂直,這無數條直線在過已知點的一個平面上(以后可知該平面與直線垂直).
(3)在一個平面內,與已知直線成60°角的直線有無數條,這無數條直線平行,且都與已知直線相交;在空間也是有無數條直線與已知直線成60°角,它們與已知直線位置關系是相交或異面.
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