522. 已知正四棱錐的各條棱都是a.

(1)求底面一邊到相對側面的距離；

(2)求證：相鄰兩側面所成二面角等于側面和底面所成二面角的2倍；

(3)求相對兩側面所成二面角的余弦值.

(1)解：　 作PO⊥底面ABCD，垂足是O，取BC、AD、PB的中點F、E、M，連結PE、PF、EF、OM、MC、MA.

∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，AD到平面PBC的距離就是E點到平面PBC的距離，∵BC⊥平面PEF，∴平面PEF⊥平面PBC.∴E點到交線PF的距離就是E點到平面PBC的距離d.

∴d·PF＝PO·EF,d·a＝a·,∴d＝a.

(2)在ΔACM中，∵AM＝MC＝a,AD＝OC,∴OM是∠AMC的平分線，又AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，∠OFP是二面角P-BC-AD的平面角.

又∵AO＝PO＝a,AM＝PF＝a,∴RtΔPOF≌RtΔAMO.

∴∠AMC＝2∠PFO，∴命題成立.

(3)設相對兩側面PBC、PAD的交線是l，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴AD∥l，∵BC⊥平面PEF，∴l(xiāng)⊥平面PEF，∴∠EPF就是所求二面角的平面角.

∴cos∠EPF＝＝.

521. 　已知邊長為10的正ΔABC的頂點A在平面α內，頂點B、C在平面α同側，BD為AC邊上的中線，B、C到平面α的距離分別是BB₁＝2，CC₁＝4

(1)求證：BB₁∥平面ACC₁

(2)求證：BD⊥平面ACC₁

(3)求四棱錐A-BCC₁B₁的體積

解析： 本小題考查空間圖形線、面的平行、垂直關系，考查邏輯思維能力和運算能力.

解　 (1)∵BB₁⊥α，CC₁⊥α，∴BB₁∥CC₁

∵BB₁平面ACC₁，CC₁平面ACC₁，

∴BB₁∥平面ACC₁.

(2)∵

過D點作AC₁的垂線DD₁，則DD₁⊥α.

∵DD₁＝CC₁＝×4＝2＝BB₁，

∴四邊形B₁BDD₁是矩形

∴B₁D₁∥BD

∵BD⊥平面ACC₁

(3)在RtΔABD中，BD＝＝＝B₁D₁

在RtΔACC₁中，AC₁＝＝，連結BC₁，

則＝+＝××AC₁×B₁D₁×BB₁+××AC₁×CC₁×BD.

∴＝××××2+××××4＝30.

520.　 如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁

(1)求證：BE＝EB₁

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數

解析： 欲證BE＝EB₁，可證A₁E＝EC，由截面A₁EC⊥側面AC₁，考慮到作EG⊥A₁C于G，關鍵在于證出G是A₁C的中點，為了利用正棱柱的性質，可取AC中點F，證FG∥AA₁即可.

證明：　 (1)在截面A₁EC中，作EG⊥A₁C于G，∵面A₁EC⊥面A₁C，∴EG⊥面A₁C，取AC中點F，連BF、FG，易證EBFG為平行四邊形，∴BE＝FG，又證得FG＝AA₁，∴BE＝AA₁＝BB₁，即BE＝EB₁.

(2)分別延長CE、C₁B₁交于點D，連A₁D，利用E是BB₁的中點，可證得A₁C₁⊥A₁D，由三垂線定理，可證出A₁C⊥A₁D，

∴∠CA₁C₁為所求二面角的平面角，由A₁A＝A₁C，得∠CA₁C₁＝45°.

評析　 本題解題思路：由證E是BB₁的中點證G是A₁C的中點GF∥AA₁，要完成此過程，除具有扎實的立幾基本功外，尚需很好的平幾修養(yǎng)，確實是一個考查基礎知識很全面的好題.

519.三棱錐的三個側面互相垂直，它們的面積分別為6m²,4m²和3m²，求它的體積.

解析：設三棱錐S-ABC的三條側棱長分別為xm,ym,zm.則三個側面積分別為、、.

依題意： 則　 xyz＝24

而　 V_S-ABC＝V_A-SBC＝·yz·x＝×24＝4(m³)

∴它的體積為4m³.

518.將正方體截去一個角，求證：截面是銳角三角形.

已知：正方體中截去以P為頂點的一角得截面ABC.

求證：ΔABC是銳角三角形.

證明：如圖，P-ABC是一個四面體.

∵ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA都是直角三角形.

∴ 則　 z²＝(a²+b²-c²)

∵z≠0，∴a²+b²-c²＞0

即　 c²＜a²+b²,∴b²＜a²+c².

∴∠BAC、∠ABC都小于90°.

∴ΔABC為銳角三角形.

517.　 如圖三棱錐P-ABC中，PA＝a,AB＝AC＝2a,∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱錐P-ABC的體積.

解法一：過點P作PO⊥平面ABC于點O，∵∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°

∴AO平分∠BAC

∴cos∠PAO＝＝，∴sin∠PAO＝＝

∴PO＝asin∠PAO＝a

∴V_棱錐＝××2a×2asin60°×a＝a³

點評　 這種方法叫直接法，就是利用錐體的體積公式直接計算，這是一種常規(guī)方法，必須掌握.

解法二：取AB、AC中點M、N的連結PM、PN

∵PA＝a,AB＝AC＝2a,∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°

∴三棱錐P-AMN為棱長為a的正四面體，且S_ΔAMN＝S_ΔABC

∴V_P-AMN＝V_P-ABC，而V_P-AMN＝a³

∴V_P-ABC＝4V_P-AMN＝a³

點評 　此法是根據棱長與含有60°角的三角形的關系，把錐體截成棱長相等的三棱錐，然后根據小錐體的體積與原棱錐的體積關系，求原棱錐的體積.

解法三　 在ΔPAB中，PA＝a,AB＝2a

又∠PAB＝60°，∴∠APB＝90°

同理∠APC＝90°∴AP⊥平面PBC

又S_ΔPBC＝a² ∴V_P-ABC＝V_A-PBC＝·a²·a＝a³.

516. 　在三棱錐A-BCD中，ΔABC和ΔBCD都是邊長為a的正三角形，二面角A-BC-D＝φ，問φ為何值時，三棱錐的全面積最大。

解析：S_ΔBAC＝S_ΔBCD＝a²為常量，所以三棱錐全面積的大小取決于S_ΔABD與S_ΔACD的大小，由于ΔABD≌ΔACD，所以只求S_ΔACD何時面積取最大值即可�！逽_ΔACD＝asin∠ACD，所以當∠ACD＝90°時面積最大，問題得解。

解　 如圖，取BC中點M，連AM、DM，∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形，∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，∠AMD＝φ，又∵ΔABD≌ΔACD，且當∠ACD＝90°時，ΔACD和ΔABD面積最大，此時AD＝a，在ΔAMD中，由余弦定理cos∠AMD＝-，

∴當φ＝π-arccos時，三棱錐A-BCD的全面積最大。

點評　 本題將求棱錐全面積的最大值，轉化為求ΔACD面積的最大值，間接求得φ角。

515.　 正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側棱為2a，過點B作與側棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的值，(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.

解析：(1)沿側棱AB把正三棱錐的側面剪開展成平面圖.如圖1，當周長最小時，EF在直線BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴＝，＝＝,∴DF＝a,AF＝a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周長的最小值為a.

(2)如圖2，∵ΔBEF等腰，取EF中點G，連BG，則BG⊥EF.∴BG＝＝＝a　 ∴S_ΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a².

(3)∵V_A-BCD＝V_B-ACD，而三棱錐B-AEF，三棱錐B-ACD的兩個高相同，所以它們體積之比于它們的兩底面積之比，即

＝＝＝

評析 　把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉化為平面上兩點間距離的問題，從而使問題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體，其中任何一個面都可以做為底面，因而它可有四個底面和與之對應的四條高，在解決有關三棱錐體積題時，需要靈活運用這個性質.

514.　 已知三棱錐各側面與底面成60°角.底面三角形的各角成等差數列，且最大邊與最小邊是方程3x²-21x+13＝0的兩根.求此三棱錐的側面積和體積.

解析： 如圖，設底面三角形的邊長為a、b、c.則由條件知∠B＝60°，a+c＝7,ac＝，得b²＝a²+c²-2accosB＝(a+c)²-2ac(1+cosB)＝7²-2·(1+)＝36b＝6,由三角形面積公式，得acsinB＝pr(其中p為半周長，r為內切圓半徑)，求得r＝.

由于各側面與底面成的角相等，∴頂點在底面上的射影是三角形的內心，且各側面上的高相等，∴h＝rtg60°＝·＝，h_側＝＝.故S_側＝(7+6)×＝ (平方單位)，V＝·acsinBh＝×××＝ (立方單位).

513.　 如圖，四棱錐的高為h，底面為菱形，側面VDA和側面VDC所成的二面角為120°，且都垂直于底面，另兩個側面與底面所成的角都是45°，求此棱錐的全面積.

解析：由面面垂直的性質可證得VD⊥底面，因為S_ΔVDA＝S_ΔVDC，∠ADC＝120°，DB是其平分線，而S_ΔVBC＝S_ΔVAB，所以全面積不難求得.

解　 由已知條件可得VD⊥底面ABCD，VD⊥DA，VD⊥DC，

∴∠ADC＝120°.

∵ABCD為菱形，

∴BD是∠ADC的平分線.

ΔADB和ΔDBC是全等的等邊三角形，取BC的中點E，

連DE，BC⊥DE，BC⊥VE，∴∠VED＝45°.

在直角ΔDEC中，EC＝DE·ctg60°＝h,BC＝h,VE＝h.

∴S_底＝BC·DE＝h·h＝h²,

S_ΔVBC＝S_ΔVAB＝·h·h＝h²,

S_ΔVAD＝S_ΔVDC＝h·h＝h².

∴S_全＝h²+h²+h²

　 ＝(2+)h²

評析：本題的關鍵是側面VDA和側面VDC都垂直于底面，則它們的交線VD⊥底面ABCD，從而∠ADC＝120°.