442. 下列命題中正確的是( ).
A.若a是平面a 的斜線(xiàn),直線(xiàn)b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為,則a⊥b
B.若a是平面a 的斜線(xiàn),平面b 內(nèi)的直線(xiàn)b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為,則a ⊥b
C.若a是平面a 的斜線(xiàn),直線(xiàn)b平行于平面a ,且b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影,則a⊥b
D.若a是平面a 的斜線(xiàn),b是平面a 內(nèi)的直線(xiàn),且b垂直于a在另一個(gè)平面b 內(nèi)的射影,則a⊥b
解析:C.如圖答9-18,直線(xiàn)b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影,但不能得出a⊥b的結(jié)論.排除A.令b 是直線(xiàn)a與其在a 內(nèi)的射影確定的平面,在b 內(nèi)取垂直于的直線(xiàn)為b,不能得出a⊥b的結(jié)論.排除B.同理排除D.如圖答9-19,在a 內(nèi)任取點(diǎn)P,∵ ,則過(guò)b與P確定平面g ,設(shè),因?yàn)?i>b∥a ,則.∵ ,∴ .∴ ,∴ b⊥a.于是C正確.
441. 已知直線(xiàn)PG⊥平面a 于G,直線(xiàn)EFa ,且PF⊥EF于F,那么線(xiàn)段PE、PF、PG的關(guān)系是( ).
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
解析:C.如圖答9-17.PG⊥a ,EFa ,PF⊥EF,則GF⊥EF.在Rt△PGF中,PF為斜邊,PG為直角邊,PF>PG.在Rt△PFE中,PF為直角邊,PE為斜邊,PE>PF,所以有PE>PF>PG.
440. ABCD是平面a 內(nèi)的一個(gè)四邊形,P是平面a 外的一點(diǎn),則△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有( ).
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:D.作矩形ABCD,PA⊥平面AC,則所有的三角形都是直角三角形
439. 直線(xiàn)a、b均在平面a 外,若a、b在平面a 上的射影是兩條相交直線(xiàn),則a和b的位置關(guān)系是( ).
A.異面直線(xiàn) B.相交直線(xiàn) C.平行直線(xiàn) D.相交或異面直線(xiàn)
解析:D
438. 若直線(xiàn)l與平面a 所成角為,直線(xiàn)a在平面a 內(nèi),且與直線(xiàn)l異面,則直線(xiàn)l與直線(xiàn)a所成的角的取值范圍是( ).
A. B.
C. D.
解析:C.因?yàn)橹本(xiàn)l是平面的斜線(xiàn),斜線(xiàn)與平面所成的角,是這條斜線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角,故a與l所成的角大于或等于;又因?yàn)楫惷嬷本(xiàn)所成的角不大于,故選C.
437. 已知a、b是異面直線(xiàn),那么經(jīng)過(guò)b的所在平面中( ).
A.只有一個(gè)平面與a平行 B.有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a平行
C.只有一個(gè)平面與a垂直 D.有無(wú)數(shù)個(gè)平面與a垂直
解析:A.過(guò)b上任一點(diǎn)P作直線(xiàn),由和b確定的平面a 與a平行,這個(gè)平面是過(guò)b且平行于a的唯一一個(gè)平面.故排除B.當(dāng)a與b不垂直時(shí),假設(shè)存在平面b ,使bb ,且a⊥b ,則a⊥b,這與a、b不垂直矛盾,所以當(dāng)a、b不垂直時(shí),不存在經(jīng)過(guò)b且與a垂直的平面,當(dāng)a、b垂直時(shí),過(guò)b且與a垂直的平面是唯一的,設(shè)a、b的公垂線(xiàn)為c,則由c和b所確定的平面與a垂直,且唯一.
436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等,那么它的兩條對(duì)角線(xiàn)AC和BD的關(guān)系是( ).
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.不相交也不垂直 D.不相交但垂直
解析:D.取BD中點(diǎn)O,則BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面ACO,因此BD⊥AC.
435. 圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5cm,兩個(gè)直徑為5cm的玻璃小球都浸沒(méi)于容器的水中,若取出這兩個(gè)小球,則容器內(nèi)的水面將下降 cm.
解析:球的體積等于它在容器中排開(kāi)水的體積.
解: 設(shè)取出小球后,容器水平面將下降hcm,兩小球體積為V球=2×π×52×h,V1= V球
即 25πh=π ∴h=cm.
∴應(yīng)填.
434. 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么這個(gè)球的表面積是 .
解析:由已知可得PA、PB、PC實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱,正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)就是球的直徑,連結(jié)過(guò)點(diǎn)C的一條對(duì)角線(xiàn)CD,則CD過(guò)球心O,對(duì)角線(xiàn)CD=a.
∴S球表面積=4π·(a)2=3πa2.
433. 長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱分別是3、4、5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,這個(gè)球的表面積是( )
A.20π B.25π C.50π D.200π
解析: 正方體的對(duì)角線(xiàn)為l,球的半徑為R,則l=2R.
得:l2=4R2=32+42+52=50
從而 S球=4πR2=50π
∴應(yīng)選C.
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