題目列表(包括答案和解析)
(四)排列、組合的混合問(wèn)題
排列、組合的混合問(wèn)題,主要指既與組合有關(guān),又與排列有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.如分配問(wèn)題.
例6 六本不同的書,按下列條件,各有多少種不同的分法?
(1) 分為三堆,每堆2本;
(2) 分為三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本;
(3) 分給甲、乙、丙三人,每人2本;
(4) 分給甲、乙、丙三人,一人得1本,一人拿2本,一人得3本;
(5) 分給甲、乙、丙三人,每人至少得1本.
評(píng)析 本例屬分配問(wèn)題,解這類問(wèn)題的基本思路是先分組,再分配,即先組合、后排列.同時(shí)注意在分組時(shí),若出現(xiàn)平均分組(即兩組元素個(gè)數(shù)相同)的情況,則要除以組數(shù)(即平均分組的數(shù)目)的階乘.
例6 (1)分別從4所學(xué)校選拔6名報(bào)告員,每校至少1人,有多少種不同的選法?
(2) 將6名報(bào)告員分配到4所學(xué)校去做報(bào)告,每校至少1人,有多少種不同的分配方法?
評(píng)析 兩小題看以類似,但第(1)小題的選取元素為學(xué)校;第(2)小題的選取元素為報(bào)告員,解題時(shí)要注意區(qū)分分組時(shí),組合的對(duì)象--即元素是什么.
(三)排列應(yīng)用題
例2 4位學(xué)生與2位教師并坐合影留念.(1)教師必須坐在中間;(2)教師不能坐在兩端,但要坐在一起;(3)教師不能坐在兩端,且不能相鄰.各有多少種不同的坐法?(1);(2);(3)144
評(píng)析 (1) “在與不在”、“鄰與不鄰”是帶限制條件的排列應(yīng)用題的兩種重要題型,處理這類問(wèn)題的基本思路,有“直接”、“間接”之分.
(2) 對(duì)“在與不在”問(wèn)題,優(yōu)先考慮受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法,是解題的基本策略;而處理“鄰與不鄰”問(wèn)題,使用捆綁和插空法是十分有效的.
(3) 關(guān)于“元素和問(wèn)題”的認(rèn)識(shí),是排列、組合概念中的一個(gè)重要問(wèn)題,解題總是從元素或位置出發(fā),要注意即使在同一問(wèn)題中,把什么看作元素(或位置)并不是一成不變的.
例3 用0,1,2,3,4,5 六個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的:(1)首數(shù)是奇數(shù)的五位偶數(shù)?(2) 五位奇數(shù)?(3)五位偶數(shù)?
(二)加法原理與乘法原理
這是兩個(gè)基本原理,它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ),而且可以直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q某些問(wèn)題.兩個(gè)原理的區(qū)別是前者與分類有關(guān),與元素的順序有關(guān);后者與分步有關(guān),與元素的順序無(wú)關(guān);.
例1 (1)有紅、黃、白色旗子各n面(n>3),取其中一面、二面、三面組成縱列信號(hào),可以有多少不同的信號(hào)?
(2) 有1元、5元、10元的鈔票各一張,取其中一張或幾張,能組成多少種不同的幣值?
(1) 解 因?yàn)榭v列信號(hào)有上、下順序關(guān)系,所以是一個(gè)排列問(wèn)題,信號(hào)分一面、二面、三面三種情況(三類),各類之間是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗,共有3種信號(hào);②升二面旗,要分兩步,連續(xù)完成每一步,信號(hào)方告完成,而每步又是獨(dú)立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重復(fù)使用,故共有3×3種信號(hào);③升三面旗,有3×3×3種信號(hào).所以共有39種信號(hào).
(2) 解法 計(jì)算幣值與順序無(wú)關(guān),所以是一個(gè)組合問(wèn)題,有取一張、二張、三張、四張四種情況,它們彼此是互斥的,用加法原理.因此,不同幣值有 =15(種)
評(píng)析 (1) 排列、組合的區(qū)別在于順序性,前者“有序”而后者“無(wú)序”;加法原理與乘法原理的區(qū)別在于聯(lián)斥性,前者“斥”--互斥獨(dú)立事件,后者“聯(lián)”--相依事件.因而有“順序”決“問(wèn)題”,“聯(lián)斥”定“原理”的說(shuō)法.
(2)加、乘原理是排列、組合問(wèn)題的理論依據(jù),在分析問(wèn)題和指導(dǎo)解題中起著關(guān)鍵作用,運(yùn)用加法原理的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)胤诸?分情況),要使所分類別既不遺漏,也不重復(fù);運(yùn)用乘法原理的關(guān)鍵在于分步,要正確設(shè)計(jì)分步的程序,使每步之間既互相聯(lián)系,又彼此獨(dú)立.
(一)本來(lái)的主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)
1. 掌握加法原理及乘法原理,并能運(yùn)用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 2. 理解排列、組合的意義,掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 3. 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
17、如圖,是底面邊長(zhǎng)為的正三棱錐,、、分別為棱、、上的點(diǎn),截面底面,且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等。(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)
(1)證明:為正四面體;
(2)若,求二面角的大;(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
(3)設(shè)棱臺(tái)的體積為,是否存在體積為且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體,使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和?若存在,請(qǐng)具體構(gòu)造一個(gè)直平行六面體,并給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
16、如圖,將邊長(zhǎng)為的正方形剪去圖中的陰影部分,沿圖中所畫虛線折成一個(gè)正三棱錐。這個(gè)正三棱錐側(cè)棱與底面所成角的余弦值是
15、在的二面角內(nèi),放一個(gè)半徑為的球切兩半平面于、兩點(diǎn),那么這兩個(gè)切點(diǎn)在球面上最短距離是
14、已知球的表面積為,有兩個(gè)平行截面的面積分別為和,則這兩個(gè)平行截面間的距離是
13、正四面體的側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是
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