例1、(07海南) 曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（　�。�

Ａ、              Ｂ、          Ｃ、             Ｄ、

例2、(07全國(guó)Ⅰ20) 設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)；

（Ⅱ）若對(duì)所有都有，求的取值范圍。

例3、(05全國(guó)Ⅱ22) 已知，函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）設(shè)在[,1]上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。

;（)

（一）選擇題：

1、（07浙江）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（    ）

2、（07江西）設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（　�。�

Ａ、               Ｂ、                  Ｃ、                 Ｄ、

3、（07陜西）是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足．對(duì)任意正數(shù)，若，則必有（    ）

A、                   B、

C、                    D、

4、（06北京）在下列四個(gè)函數(shù)中，滿(mǎn)足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意,( ).

恒成立”的只有（   ）

A、        B、        C、        D、

5、（06安徽）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（   ）

 A、    B、    C、    D、

（二）填空題：

6、（06湖南）曲線和在它們的交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是___________；

7、（05北京）過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為           ，切線的斜率

為        。

（三）解答題：

8、（06北京）已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0），如圖所示，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值.                      

9、（06安徽20）已知函數(shù)在上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有。（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明  其中和均為常數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立�！�成立。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，

令，得；

當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)遞增函數(shù)；

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得極小值，極小值為

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用080626

例1、（07山東22）設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．

解：（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)?sub>，

設(shè)，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，

．

當(dāng)時(shí)，，

即在上恒成立，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．

②時(shí)，有兩個(gè)相同的解，

時(shí)，，

時(shí)，，

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，，

時(shí)，，，

即，．

時(shí)，，隨的變化情況如下表：

極小值

由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

，

此時(shí)，，隨的變化情況如下表：

極大值

極小值

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；

綜上所述：

時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

令函數(shù)，

則．

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又．

時(shí)，恒有，即恒成立．

故當(dāng)時(shí)，有．

對(duì)任意正整數(shù)取，則有．

所以結(jié)論成立．

例2、（06全國(guó)Ⅰ21）已知函數(shù)。（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。

解(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?－∞,1)∪(1,+∞).對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= e^－ax.  

(?)當(dāng)a=2時(shí), f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數(shù).

(?)當(dāng)0<a<2時(shí), f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).

(?)當(dāng)a>2時(shí), 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

當(dāng)x變化時(shí), f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x

(－∞, －)

(－,)

(,1)

(1,+∞)

f '(x)

＋

－

＋

＋

f(x)

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－,)為減函數(shù).

(Ⅱ)(?)當(dāng)0<a≤2時(shí), 由(Ⅰ)知: 對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(?)當(dāng)a>2時(shí), 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(?)當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈(－∞,2]時(shí),對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

例3、（06天津20）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值 

（Ⅱ），令，得

由（Ⅰ），只需分下面兩種情況討論 

①當(dāng)時(shí)，隨x的變化的符號(hào)及的變化情況如下表：

x

0

+

0

-

0

+

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

因此，函數(shù)在處取得極小值，

且 

要使，必有，可得

由于，故 

②當(dāng)時(shí)，隨x的變化，的符號(hào)及的變化情況如下表：

+

0

-

0

+

極大值

極小值

因此，函數(shù)處取得極小值，且

若，則。矛盾。所以當(dāng)時(shí)，的極小值不會(huì)大于零 

故參數(shù)的取值范圍為 

（III）由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù) 

由題設(shè)，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿(mǎn)足不等式組

　或　　

由（II），參數(shù)時(shí)時(shí)，

要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，

必有，即

解得或　　

所以的取值范圍是  

例4、（04福建16）如圖1，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為         時(shí)，其容積最大。

（一）選擇題：

1、（06天津）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（　   ）

A、1個(gè)          B、2個(gè)

C、3個(gè)          D、4個(gè)

2、（06江西）對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿(mǎn)足，則必有（   ）

A、     B、

C、    D、

（二）填空題：

3、（07江蘇）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____；

4、（05重慶）曲線處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為=             。

（三）解答題：

5、（07海南21）設(shè)函數(shù)

（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

解：

（Ⅰ），

依題意有，故．

從而．

的定義域?yàn)?sub>，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（Ⅱ）的定義域?yàn)?sub>，．

方程的判別式．

（?）若，即，在的定義域內(nèi)，故的極值．

（?）若，則或．

若，，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)極值．

若，，，也無(wú)極值．

（?）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，．

當(dāng)時(shí)，，從而有的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故無(wú)極值．

當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為．

的極值之和為

．

6、（07福建22）已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：。

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類(lèi)討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．滿(mǎn)分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

       由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．

       （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

       于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．

       由得．

       ①當(dāng)時(shí)，．

       此時(shí)在上單調(diào)遞增．

       故，符合題意．

       ②當(dāng)時(shí)，．

       當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

7、（07湖北20）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

分析：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，。

8、（05湖北）已知向量在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求的取值范圍。

9、（05江蘇22）已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求使成立的的集合；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最小值。

[分析]:本題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用問(wèn)題,第一問(wèn)對(duì)x進(jìn)行討論,得出方程,進(jìn)而求出x的值;第二問(wèn)對(duì)a進(jìn)行討論,結(jié)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而求出函數(shù)的最小值.

[解答]:

   (Ⅰ)由題意,f(x)=x²

當(dāng)x<2時(shí),f(x)=x²(2-x)=x,解得x=0,或x=1;

當(dāng)x

綜上所述,所求解集為.

(Ⅱ)設(shè)此最小值為m.

①當(dāng)

            因?yàn)?

            則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),所以m=f(1)=1-a..

②當(dāng)1<a.

③當(dāng)a>2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，

             若在區(qū)間(1，2)內(nèi)f^/(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，

             由此得：m=f(1)=a-1.

             若2<a<3,則

             當(dāng)

             當(dāng)

             因此，當(dāng)2<a<3時(shí)，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

             當(dāng);

             當(dāng)

             綜上所述，所求函數(shù)的最小值

  [評(píng)析]:本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,同時(shí)考查了分類(lèi)討論轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，以及相關(guān)分析推理、計(jì)算等方面的能力。