已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（Ⅱ）若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

【解析】第一問中由題意可知：. ∵ ∴  ∴.

當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 故.

第二問.

當(dāng)時(shí)，,在上有，遞增，符合題意；  

令，則，∴或在上恒成立.轉(zhuǎn)化后解決最值即可。

解：(Ⅰ) 由題意可知：. ∵ ∴  ∴.

當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 故.

(Ⅱ) .

當(dāng)時(shí)，,在上有，遞增，符合題意；  

令，則，∴或在上恒成立.∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且

∴或或或

  或.   綜上

 

已知集合

A=, B=.

（1）若，求A∩B，；

（2）若A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

【解析】第一問首先翻譯A,B為最簡集合，即為

A=

B=

然后利用當(dāng)m=-1時(shí)，則有 B=

 , 

第二問，因?yàn)锳，

所以滿足A

得到結(jié)論。

解：因?yàn)锳=

,

B=

當(dāng)m=-1時(shí)，則有 B=

 , 

(2) 因?yàn)锳，

所以滿足A

故

 

已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的有≤成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

由，得

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

x
	-	0	+
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時(shí)，取，有，故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，令，即

令，得

①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時(shí)，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為，且不等式的解集為,

（1）若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍．

【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),

設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后利用判別式得到a的值。

第二問中，

解：（1）∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),

   ①

由方程

              ②

∵方程②有兩個(gè)相等的根，

∴，

即5a²-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5

a=-1/5代入①得：

（2）由

 

由 解得：

故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

   ②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

   則當(dāng)時(shí),

    即

即

故當(dāng)時(shí)，命題成立.

綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即