432. 已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離都是球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球表面積是( )
A.π B.π C.4π D.π
解析: 如圖,過ABC三點的截面圓的圓心是O′,球心是O,連結AO′、OO′,則OO′⊥ AO′.ΔABC中,AB=BC=CA=2,故ΔABC為正三角形.
∴AO′=×2=
設球半徑為R,則OA=R,OO′=
在RtΔOAO′中,OA2=O′O2+O′A2,即R2=+()2
∴R=
∴球面面積為4πR2=π
∴應選A.
說明 因為R=OA>O′A>AB=1,所以球面積S=4πR2>4π.從而選A.
431. 球面上有3個點,其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的,經過3個點的小圓的周長為4π,那么這個球的半徑為( )
A.4 B.2 C.2 D.
解析: 設球半徑為R,小圓半徑為r,則2πr=4π,∴r=2.如圖,設三點A、B、C,O為球心,∠AOB=∠BOC=∠COA=,又∵OA=OB
∴ΔAOB是等邊三角形
同理,ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形,得ΔABC為等邊三角形.
邊長等于球半徑R,r為ΔABC的外接圓半徑.
r=AB=R
R=r=2
∴應選B.
2.在球心的同一側有相距9cm的兩個平行截面,它們的面積各為49πcm2和400πcm2.求球的表面積.
解: 如圖,設球的半徑為R,
∵πO2B2=49π, ∴O2B=7
同理 O1A=20
設OO1=xcm,則OO2=(x+9)cm.
在RtΔOO1A中,可得R2=x2+202
在RtΔOO2B中,可得R2=72+(x+9)2
∴x2+202=72+(x+9)2
解方程得 x=15cm
R2=x2+202=252
∴S球=4π·OA2=2500π(cm2)
430.求證:球的任意兩個大圓互相平分.
證明:因為任意兩個大圓都過球心O,所以它們必交于過球心的直徑,這條直徑也是兩個大圓的公共直徑,所以任意兩個大圓互相平分.
429. 求棱長為a的正四面體的外接球和內切球的半徑.
解析:如圖,作AH⊥底面BCD于H,則AH=a,設內切球的球心為O,半徑為r,O點與A、B、C、D相連,得四個錐體,設底面為S,則每個側面積為S,有4··Sr=S·AH,∴r=AH=a,設外接球心為O,半徑R,過A點作球的半徑交底面ΔBCD于H,則H為ΔBCD的外心,求得BH=a,AH=a,由相交弦定理得a×(2R-a)=(a)2.
解得R=a.
428. 如圖,過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC,(1)求證:PA2+PB2+PC2為定值;(2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值.
解析:先選其中兩條弦PA、PB,設其確定的平面截球得⊙O1,AB是⊙O1的直徑,連PO1并延長交⊙O1于D,PADB是矩形,PD2=AB2=PA2+PB2,然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.
解: (1)設過PA、PB的平面截球得⊙O1,∵PA⊥PB,
∴AB是⊙O1的直徑,連PO1并延長交⊙O1于D,則PADB是矩形,PD2=PA2+PB2.
設O為球心,則OO1⊥平面⊙O1,
∵PC⊥⊙O1平面,
∴OO1∥PC,因此過PC、PD的平面經過球心O,截球得大圓,又PC⊥PD.
∴CD是球的直徑.
故 PA2+PB2+PC2=PD2+PC2=CD2=4R2定值.
(2)設PA、PB、PC的長分別為x、y、z,則三棱錐P-ABC的體積V=xyz,
V2=x2y2z2≤()3=·=R6.
∴V≤R3.
即 V最大=R3.
評析:定值問題可用特殊情況先“探求”,如本題(1)若先考慮PAB是大圓,探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.
球面上任一點對球的直徑所張的角等于90°,這應記作很重要的性質.
427. 已知圓錐的母線長為l,母線對圓錐底面的傾角為θ,在這個圓錐內有一內切球,球內又有一個內接的正方體,求這個內接正方體的體積.
解析:設球半徑為R,以內接正方體對角面為軸截面,如圖.連接OA,∠OAD=,R=OD=AD·tan,VA=l,AD=lcosθ,∴R=lcosθtan,又設正方體棱長為x,則3x2=EG2=4R2,x=R.∴V正方體=(lcosθtan)3.
426. 地球半徑為R,A、B兩地都在北緯45°線上,且A、B的球面距離為,求A、B兩地經度的差.
解析:如圖,O為球心,O1為北緯45°小圓的圓心,知A、B的球面距離,就可求得∠AOB的弧度數(shù),進而求得線段AB的長,在ΔAO1B中,∠AO1B的大小就是A、B兩地的經度差.
解: 設O1是北緯45°圓的中心,
∵A、B都在此圓上,
∴O1A=O1B=R.
∵A、B的球面距離為,
∴∠AOB===,ΔAOB為等邊三角形.
AB=R,在ΔAO1B中,
∵O1A2+O1B2=R2+R2=R2=AB2,
∴∠AO1B=90°.
∴A、B兩地的經度差是90°.
評析:注意搞清緯度和經度的問題,球面距離三步驟的運用是非常重要的問題.
425. 求證:球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.
證明: 設球的半徑為R,正四面體的高為h,側面積為S,則有VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-BCD,如圖,即Sh=4×SR,∴h=4R.
424. 正三棱錐的底面邊長是2cm,側棱與底面成60°角,求它的外接球的表面積.
解析:如圖,PD是三棱錐的高,則D是ΔABC的中心,延長PD交球于E,則PE就是外接球的直徑,AD=AB=,∠PAD=60°,∴PD=AD·tan60°=2,PA=,而AP⊥AE,∴PA2=PD·PE==,R=,∴S球=π(cm)2.
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