1.知識(shí)與技能:
理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義;學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì);學(xué)會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性;
(五)設(shè)置問題,留下懸念
1、教師提出下列問題讓學(xué)生思考:
①通過增(減)函數(shù)概念的形成過程,你學(xué)習(xí)到了什么?
②增(減)函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)?如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間?
③怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?
師生共同就上述問題進(jìn)行討論、交流,發(fā)表自己的意見。
2、書面作業(yè):課本P45習(xí)題1、3題(A組)第1-5題。
§1.3.2函數(shù)的奇偶性
(四)歸納小結(jié)
函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷,再利用定義證明.畫函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域,單調(diào)性的證明一般分五步:
取 值 → 作 差 → 變 形 → 定 號(hào) → 下結(jié)論
(三)質(zhì)疑答辯,發(fā)展思維。
根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.
例1 如圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單
調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?
解:略
例2 物理學(xué)中的玻意耳定律P=(k為正常數(shù))告訴我們,對(duì)于一定量的氣體,當(dāng)其體積V減少時(shí),壓強(qiáng)P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。
分析:按題意,只要證明函數(shù)P=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可。
證明:略
3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟
利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:
① 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
② 作差f(x1)-f(x2);
③變形(通常是因式分解和配方);
④定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));
⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).
鞏固練習(xí):
1 課本P38練習(xí)第1、2、3題;
2 證明函數(shù)在(1,+∞)上為增函數(shù).
例3.借助計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y =-x2 +2 | x | + 3的圖象并指出它的的單調(diào)區(qū)間.
解:(略)
思考:畫出反比例函數(shù)的圖象.
1 這個(gè)函數(shù)的定義域是什么?
2 它在定義域I上的單調(diào)性怎樣?證明你的結(jié)論.
(二)研探新知
1、y = x2的圖象在y軸右側(cè)是上升的,如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來描述這種“上升”呢?
學(xué)生通過觀察、思考、討論,歸納得出:
函數(shù)y = x2在(0,+∞)上圖象是上升的,用函數(shù)解析式來描述就是:對(duì)于(0,+∞)上的任意的x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有x12<x22 . 即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大,具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫增函數(shù)。
2.增函數(shù)
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,
如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasing function).
3、從函數(shù)圖象上可以看到,y= x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的,類比增函數(shù)的定義,你能概括出減函數(shù)的定義嗎?
注意:
1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);
2 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2;當(dāng)x1<x2時(shí),總有f(x1)<f(x2) .
4.函數(shù)的單調(diào)性定義
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間:
(一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題
1. 觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象,并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律:
1 隨x的增大,y的值有什么變化?
2 能否看出函數(shù)的最大、最小值?
3 函數(shù)圖象是否具有某種對(duì)稱性?
2. 畫出下列函數(shù)的圖象,觀察其變化規(guī)律:
(1)f(x) = x
1 從左至右圖象上升還是下降 ______?
2 在區(qū)間 ____________ 上,隨著x的增
大,f(x)的值隨著 ________ .
(2)f(x) = -x+2
1 從左至右圖象上升還是下降 ______?
2 在區(qū)間 ____________ 上,隨著x的增
大,f(x)的值隨著 ________ .
(3)f(x) = x2
1在區(qū)間 ____________ 上,
f(x)的值隨著x的增大而 ________ .
2 在區(qū)間 ____________ 上,f(x)的值隨
著x的增大而 ________ .
3、從上面的觀察分析,能得出什么結(jié)論?
學(xué)生回答后教師歸納:從上面的觀察分析可以看出:不同的函數(shù),其圖象的變
化趨勢(shì)不同,同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢(shì)也不同,函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映,這就是我們今天所要研究的函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)--函數(shù)的單調(diào)性(引出課題)。
2、教學(xué)用具:投影儀、計(jì)算機(jī).
1、從觀察具體函數(shù)圖象引入,直觀認(rèn)識(shí)增減函數(shù),利用這定義證明函數(shù)單調(diào)性。通過練習(xí)、交流反饋,鞏固從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。
重點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.
難點(diǎn):利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性.
3、情態(tài)與價(jià)值,使學(xué)生感到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)
函數(shù)的緊迫感.
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