題目列表(包括答案和解析)
3.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn),若M、N在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別是M1、N1,則∠M1FN1等于
A.45° B.60° C.90° D.120°
2.過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),若x1+x2=6,那么|AB|等于
A.10 B.8 C.6 D.4
1.拋物線(xiàn)y=-的準(zhǔn)線(xiàn)方程為
A.x= B.y=
C.x= D.y=
函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,又知函數(shù)在處連續(xù),因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此,即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同,且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù),則二區(qū)間就可以合并為一個(gè)區(qū)間。
[例]用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間。
解:(用第一種關(guān)系及單調(diào)區(qū)間的合并),當(dāng),即或時(shí),∴在,上為增函數(shù),又∵在處連續(xù),且相鄰區(qū)間的單調(diào)性又相同,∴在上為增函數(shù)。
舊教材很少提到函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并,原因在于教師很難講,學(xué)生很難把握,但是新教材引進(jìn)函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)之后就很容易說(shuō)明,也很容易理解了。
綜之,用導(dǎo)數(shù)證明劃分函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)最常用、也是最基本的應(yīng)用,其它重要性如極值、最值等都必須用到單調(diào)性。它比用單調(diào)性的定義證明要簡(jiǎn)單許多,劃分也容易理解得多。討論可導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性可按如下步驟進(jìn)行:
(1) 確定的定義域;(2)求,令,解方程求分界點(diǎn);
(3)用分屆點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間;
(4)判斷在每個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),即可確定的單調(diào)性。
以下是前幾年高考用導(dǎo)數(shù)證明、求單調(diào)性的題目,舉例說(shuō)明如下:
例1設(shè),是上的偶函數(shù)。
(I)求的值;(II)證明在上是增函數(shù)。(2001年天津卷)
解:(I)依題意,對(duì)一切有,即,
∴對(duì)一切成立,由此得到,,又∵,∴。
(II)證明:由,得,
當(dāng)時(shí),有,此時(shí)。∴在上是增函數(shù)。
例2設(shè)函數(shù),其中。(2000年全國(guó)、天津卷)
(I)解不等式;(II)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。
解1:(I)分類(lèi)討論解無(wú)理不等式(略)。 (II)作差比較(略)。
解2:(i)當(dāng)時(shí),有,此時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但,因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),。
(ii)當(dāng)時(shí),解不等式,得,在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。解方程,得或,
∵, ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,
綜上,(I)當(dāng)時(shí),所給不等式的解集為:;
當(dāng)時(shí),所給不等式的解集為:。
(II)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上時(shí)單調(diào)函數(shù)。
例3設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2003年高考(理)19題)
解:() 當(dāng),時(shí),
,,
(i)當(dāng)時(shí),對(duì)所有,恒有,即,此時(shí)在單調(diào)遞增;
(ii)當(dāng)時(shí),對(duì),恒有,即,此時(shí)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,
又知函數(shù)在處連續(xù),因此在單調(diào)遞增;
(iii)當(dāng)時(shí),令,即,
解得或,因此,函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,令,即,
解得,
因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減。
本題用傳統(tǒng)作差比較法無(wú)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,只有用導(dǎo)數(shù)才行。
3.與為增函數(shù)的關(guān)系。
由前分析,為增函數(shù),一定可以推出,但反之不一定,因?yàn)?sub>,即為或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性!是為增函數(shù)的必要不充分條件。
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點(diǎn),我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系,用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題,都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,避免討論以上問(wèn)題,也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題,特別是研究以下問(wèn)題時(shí)。
2.時(shí),與為增函數(shù)的關(guān)系。
若將的根作為分界點(diǎn),因?yàn)橐?guī)定,即摳去了分界點(diǎn),此時(shí)為增函數(shù),就一定有。∴當(dāng)時(shí),是為增函數(shù)的充分必要條件。
我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系,才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析,前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。
1.與為增函數(shù)的關(guān)系。
由前知,能推出為增函數(shù),但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增,但,∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。
等積轉(zhuǎn)化,亦稱(chēng)等積變換。通常是指用不同的方式求同一幾何體的體積(或同一平面圖形的面積)
例4. (’98全國(guó)高考)已知斜三棱柱,的側(cè)面與底面垂直,且,(如圖7)
(III)求C到側(cè)面的距離。
分析:連結(jié)A1B、A1C,過(guò)A1作AC的垂線(xiàn)A1D,D為垂足,由題意可知A1D⊥面ABC。根據(jù)定義,點(diǎn)C到面A1AAB1的距離,即為三棱錐C-A1AB的高h(yuǎn)。
由得:
即:
為所求
例5. (’92全國(guó)高考)如圖8,已知是棱長(zhǎng)為a的正方體,E、F分別為棱與的中點(diǎn),求四棱錐的體積。
分析:
易證四邊形為菱形,連結(jié),則
說(shuō)明:利用等積變換既可求得有關(guān)幾何體的體積,又可避開(kāi)作出點(diǎn)到平面的距離而直接求出。
總之,立體幾何問(wèn)題聯(lián)系多多,變化多多,但只要能對(duì)其進(jìn)行合理而有效的轉(zhuǎn)化,便可使問(wèn)題浮出水面,看得見(jiàn),摸得著。
由三維空間向二維空間轉(zhuǎn)化,是研究立體幾何問(wèn)題最重要的數(shù)學(xué)方法之一。在解決實(shí)際問(wèn)題中,往往通過(guò)一定手段,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題,得以解決。
例3. 如圖5,設(shè)正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,過(guò)A作與側(cè)棱SB、SC都相交的截面AEF,求這個(gè)截面周長(zhǎng)的最小值。
分析:沿側(cè)棱SA將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)如圖6,求周長(zhǎng)最小值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求A、A'兩點(diǎn)間的最短距離。
設(shè),則由余弦定理得
所以
可求得
即所求截面周長(zhǎng)的最小值為
說(shuō)明:這類(lèi)問(wèn)題通常都是將幾何體的側(cè)面展開(kāi),空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題來(lái)解決。
割·補(bǔ)轉(zhuǎn)化是通過(guò)割與補(bǔ),來(lái)改變幾何體的狀態(tài),由復(fù)雜幾何體變?yōu)楹?jiǎn)單幾何體的數(shù)學(xué)方法。
例2. (’87全國(guó)高考)如圖2,三棱錐中,已知,PA、BC的公垂線(xiàn)段,求證三棱錐的體積。
分析一:
如圖2,連結(jié)AD、PD,
平面APD,又,
∴
分析二:
如圖3,以三棱錐的底面為底面,側(cè)棱PA為側(cè)棱,補(bǔ)成三棱柱,連結(jié)EC、EB,則易證AP⊥平面EBC,
分析三:
如圖4,將補(bǔ)成平行四邊形ABCF,可利用
易得:
說(shuō)明:割·補(bǔ)轉(zhuǎn)化是解決立體幾何問(wèn)題常用的方法之一,對(duì)同一幾何體既可進(jìn)行合理分割,又可實(shí)施有效的添補(bǔ)。
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