重慶南開中學(xué)2008―2009學(xué)年度高三月考

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，總共三個(gè)大題，21個(gè)小題，總分150分，考試時(shí)間為120分鐘。

 

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

一、選擇題：（本大題10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1．復(fù)數(shù)：=                                                                                          （    ）

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       A．0                       B．2                        C．               D．

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2．“”是“成立”的                                                       （    ）

       A．充分不必要條件                                B．必要不充分條件

       C．充分必要條件                                    D．既不充分也不必要條件

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3．已知等差數(shù)列=                    （    ）

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       A．1                       B．2                        C．                     D．3

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4．直線的位置關(guān)系是（    ）

       A．相離                  B．相切                   C．相交                  D．不能確定

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5．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布=                   （    ）

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       A．p                       B．―p                    C．              D．

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6．已知半徑為R的球O的球面上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，且A、B的球面距離為R、且B、C的球面距離為R，則A、C的球面距離為（    ）

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       A．R                  B．R                   C．R                D．R

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7．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為                                                         （    ）

       A．30                     B．48                      C．60                     D．120

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8．口袋中放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)列

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如果的概率為

                                                                                                                       （    ）

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       A．   B．    C．   D．

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       A．是奇函數(shù)且是單調(diào)函數(shù)                     

       B．是奇函數(shù)且不是單調(diào)函數(shù)

       C．是偶函數(shù)且是單調(diào)函數(shù)                     

       D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

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10．如圖：是3×3的一個(gè)正方形，圖中每一個(gè)小方格

都是完全相同的正方形，現(xiàn)從圖中的16個(gè)頂點(diǎn)

中任選三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，則其中直角三角形

（如△ABC，△ABC）的個(gè)數(shù)為      （    ）

       A．160                   B．200                    C．240                   D．260 

第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）

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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

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B={3，4，5}，則=          。

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12．某校高三數(shù)學(xué)考試中，對(duì)90分以上（含90分）

的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，頻率分布如圖所示，130―140

分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60人，則90―110分?jǐn)?shù)段的人

數(shù)為          。

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13．若實(shí)數(shù)x、y滿足的最大值是            。

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14．已知若函數(shù)

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在R上處處連續(xù)，則實(shí)數(shù)a的值為         。

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15．已知直線MN與雙曲線C：的左右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線C的右準(zhǔn)線相交于P點(diǎn)，點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，若的值為            。

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三、解答題（本大題共6小題；共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

16．（13分）

已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若

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   （1）求角A；

20090520

 

 

 

 

 

 

 

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17．（13分）

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        大學(xué)畢業(yè)的小張到甲、乙、丙三個(gè)不同的單位應(yīng)聘，各單位是否錄用他相互獨(dú)立，其被錄用的概率分別為、、（允許小張被多個(gè)單位同時(shí)錄用）

   （1）小張沒有被錄用的概率；

   （2）設(shè)錄用小張的單位個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和它的數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

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18．（13分）

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已知數(shù)列

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   （1）求的通項(xiàng)公式；

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   （2）若對(duì)任意的的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（12分）

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正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面邊長為E，F(xiàn)分別是AB1，CB1的中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，連接B1O交EF于O1，

   （1）求證：D1O1⊥B1O

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20．（12分）

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已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線的距離小1。

   （1）求曲線C的方程；

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   （2）若過點(diǎn)P（2，2）的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的值。

 

 

 

20090520

 

 

 

 

 

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21．（12分）

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    已知函數(shù)

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   （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

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   （2）設(shè)的圖象與x軸交于線段AB的中點(diǎn)為，過點(diǎn)C作平行于y軸的直線交于點(diǎn)D，求證：函數(shù)在點(diǎn)D的切線與y軸不垂直；

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   （3）證明：

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

BBACA   DCBBB（分類分布求解）

二、填空題

11．{2，7}     12．840    13．1    14．2    15．（圓錐曲線定義）

16．解：（1）由

   （2）由余弦定理知：

    又

17．解：設(shè)事件A為“小張被甲單位錄取”，B為“被乙單位錄取”，C為“被丙單位錄取”。

   （1）小張沒有被錄取的概率為：

   （2）小張被一個(gè)單位錄取的概率為

    被兩個(gè)單位同時(shí)錄取的概率為

    被三個(gè)單位錄取的概率為：所以分布列為：

ξ

0

1

2

3

P

    所以：

18．解：（1）

   

    所以：

19．解：（1）連接B1D1，ABCD―A1B1C1D1為四棱柱，

，

則在四邊形BB1D1D中（如圖），

    
   
    
    
    
    
    
    得△D1O1B1≌△B1BO，可得∠D1O1B1=∠OBB1=90°，
    即D1O1⊥B1O
       （2）連接OD1，顯然：∠D1OB1為所求的角，
    容易計(jì)算：∠D1OB1
       
所以：
    20．解：（1）曲線C的方程為
       （2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
       
當(dāng)直線m與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線m的方程為
       代入    ①
       
恒成立， 
       
設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為
    ∴直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
    則    ②        ③
     
           當(dāng)k=0時(shí)，方程①的解為
       

           當(dāng)k=0時(shí)，方程①的解為
       
綜上，由
    21．解：（1）當(dāng)
        由
    0
    遞增
    極大值
    遞減
       
所以
       （2）
       
   ①
       
由得
       
    ②
       
由①②得：即得：
       
與假設(shè)矛盾，所以成立
       （3）解法1：由（2）得：
       

       
由（2）得：
    解法3：可用數(shù)學(xué)歸納法：步驟同解法2
    解法4：可考慮用不等式步驟略
     
    
				
	
    
		
    


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