5.若(a+1)<(3-2a),則a的取值范圍是 .
答案 (
例1已知函數f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時,f(x):(1)是冪函數;(2)是冪函數,且是(0,+∞)上的增函數;
(3)是正比例函數;(4)是反比例函數;(5)是二次函數.
解 (1)因f(x)是冪函數,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1.
(2)若f(x)是冪函數且又是(0,+∞)上的增函數,
則∴m=-1.
(3)若f(x)是正比例函數,則-5m-3=1,解得m=-,
此時m2-m-1≠0,故m=-.
(4)若f(x)是反比例函數,則-5m-3=-1,
則m=-,此時m2-m-1≠0,故m=-.
(5)若f(x)是二次函數,則-5m-3=2,即m=-1,此時m2-m-1≠0,故m=-1.
綜上所述,當m=2或m=-1時,f(x)是冪函數;
當m=-1時,f(x)既是冪函數,又是(0,+∞)上的增函數;
當m=-時,f(x)是正比例函數;
當m=-時,f(x)是反比例函數;
當m=-1時,f(x)是二次函數.
例2 點(,2)在冪函數f(x)的圖象上,點(-2,在冪函數g(x)的圖象上,問當x為何值時,
有f(x)>g(x),f(x)=g(x),f(x)<g(x).
解 設f(x)=xα,則由題意得2=,
∴α=2,即f(x)=x2,再設,
則由題意得,
∴=-2,即g(x)=x-2,在同一坐標系中作出f(x)與g(x)的圖象,如圖所示.
由圖象可知:
①當x>1或x<-1時,
f(x)>g(x);
②當x=±1時,f(x)=g(x);
③當-1<x<1且x≠0時,
f(x)<g(x).
例3 (12分) 已知冪函數f(x)=x(m∈Z)為偶函數,且在區(qū)間(0,+∞)上是單調減函數.
(1)求函數f(x);
(2)討論F(x)=a的奇偶性.
解 (1)∵f(x)是偶函數,∴m2-2m-3應為偶數. 2分
又∵f(x)在(0,+∞)上是單調減函數,
∴m2-2m-3<0,∴-1<m<3. 4分
又m∈Z,∴m=0,1,2.
當m=0或2時,m2-2m-3=-3不是偶數,舍去;
當m=1時,m2-2m-3=-4;
∴m=1,即f(x)=x-4. 6分
(2)F(x)=,
∴F(-x)=+bx3.
①當a≠0,且b≠0時,F(x)為非奇非偶函數;
②當a=0,b≠0時,F(x)為奇函數; 10分
③當a≠0,b=0時,F(x)為偶函數;
④當a=0,b=0時,F(x)既是奇函數,又是偶函數. 12分
4.若冪函數f(x)的圖象經過點(3,),則其定義域為 ( )
A.{x|x∈R, x>0} B. {x|x∈R, x<0}
C. {x|x∈R,且x≠0} D.R
答案 C
3.下列說法正確的是 ( )
A.冪函數一定是奇函數或偶函數
B.任意兩個冪函數圖象都有兩個以上交點
C.如果兩個冪函數的圖象有三個公共點,那么這兩個冪函數相同
? D.圖象不經過(-1,1)的冪函數一定不是偶函數
答案 D
2.(2008·山東文,4)給出命題:若函數y=f(x)是冪函數,則函數y=f(x)的圖象不過第四象限.在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中,真命題的個數是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 C
1.下列函數中:①y=②y=3x-2;③y=x4+x2;④y=是冪函數的個數為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
12.已知函數f(x)=loga (a>0,且a≠1,b>0).
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)討論f(x)的單調性.
解 (1)由>0(x+b)(x-b)>0.
解得f(x)的定義域為(-∞,-b)∪(b,+∞).
(2)∵f(-x)=loga
∴f(x)為奇函數.
(3)令u(x)=,則u(x)=1+
它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是減函數.
∴當0<a<1時,f(x)分別在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函數;
當a>1時,f(x)分別在(-∞,-b)和(b,+∞)上是減函數.
§2.6冪函數
基礎自測
11.已知定義域為R的函數f(x)為奇函數,且滿足f(x+2)=-f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=2x-1.
(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;
(2)求f(log24).
解 (1)令x∈[-1,0),則-x∈(0,1],∴f(-x)=2-x-1.
又∵f(x)是奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=f(-x)=2-x-1,
∴f(x)=-(x+1.
(2)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數,
∵log24=-log224∈(-5,-4),∴l(xiāng)og24+4∈(-1,0),
∴f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24×+1=-.
10.已知函數y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函數,求a的取值范圍.
解 因為(x)=x2-2ax-3在(-∞,a]上是減函數,
在[a,+∞)上是增函數,
要使y= log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函數,
首先必有0<a2<1,即0<a<1或-1<a<0,
且有得a≥-.
綜上,得-≤a<0或0<a<1.
9.已知函數f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數y=g(x)圖象上任意一點P關于原點對稱點Q的軌跡恰好是函數f(x)的圖象.
(1)寫出函數g(x)的解析式;
(2)當x∈[0,1)時總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范圍.
解 (1)設P(x,y)為g(x)圖象上任意一點,
則Q(-x,-y)是點P關于原點的對稱點,
∵Q(-x,-y)在f(x)的圖象上,
∴-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x).
(2)f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.
設F(x)=loga,x∈[0,1),
由題意知,只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函數,
∴F(x)min=F(0)=0.故m≤0即為所求.
8.若a2>b>a>1,則logb,logab,logba從小到大的依次排列為 .
答案?logb<logba<logab
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