4、設(shè),則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有值為
2、在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且.若在區(qū)間上是減函數(shù),則
在區(qū)間上是 函數(shù),在區(qū)間上是 函數(shù)
1、,是定義在R上的函數(shù),,則“,均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的 條件
4.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
①,②,③
典型例題
例1.已知函數(shù),,且
(1) 求函數(shù)定義域
(2) 判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
變式1:已知是偶函數(shù),定義域?yàn)?sub>.則 ,
變式2:函數(shù)的圖象關(guān)于 ( )
A.軸對(duì)稱 B.軸對(duì)稱 C.原點(diǎn)對(duì)稱 D.直線對(duì)稱
變式3:若函數(shù)是奇函數(shù),則
變式4:函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.則
變式5:函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為
例2、已知函數(shù)是偶函數(shù),而且在上是減函數(shù),判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的判斷.
變式1:下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A. B. C. D.
變式2:函數(shù)是R上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
設(shè)計(jì)意圖:考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系
例3、已知函數(shù),求,,的值
變式1:設(shè)則__________
變式2:已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是
例4、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是N*,且,,則f(25)=
變式1:設(shè)函數(shù)定義在R上,對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,恒有且當(dāng)
(1)求證:f(0)=1,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(2)求證:f(x)在R上遞減;
(3)設(shè)集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,
a∈R},若A∩B=,求a的取值范圍.
實(shí)戰(zhàn)演練
3.已知函數(shù)f (x), g (x)在 R上是增函數(shù),求證:f [g (x)]在 R上也是增函數(shù)。
2.函數(shù)在定義域上的單調(diào)性為
(A)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù);(B)減函數(shù);
(C)在上是減函數(shù),在上是減函數(shù);(D)增函數(shù)
1.討論函數(shù)的單調(diào)性。
4. 奇函數(shù)
⑴奇函數(shù):.設(shè)()為奇函數(shù)上一點(diǎn),則()也是圖象上一點(diǎn).
⑵奇函數(shù)的判定:兩個(gè)條件同時(shí)滿足①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,例如:在上不是奇函數(shù).②滿足,或,若時(shí),.
注:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件,在利用定義判斷時(shí),應(yīng)在化簡(jiǎn)解析式后進(jìn)行,同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形,如,(f(x)≠0)
課前練習(xí)
3.偶函數(shù)
⑴偶函數(shù):.設(shè)()為偶函數(shù)上一點(diǎn),則()也是圖象上一點(diǎn).
⑵偶函數(shù)的判定:兩個(gè)條件同時(shí)滿足
① 定義域一定要關(guān)于軸對(duì)稱,例如:在上不是偶函數(shù).
② 滿足,或,若時(shí),.
2、單調(diào)性:研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間,單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。
判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:
① 定義法(作差比較和作商比較);
② 圖象法;
③ 單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì));
④ 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則;
⑤ 導(dǎo)數(shù)法(適用于多項(xiàng)式函數(shù))
注:函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì),它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面,如比較大小,解抽象函數(shù)不等式等。
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