5.若函數(shù)f(x)=2x2-ax+3有一個零點為,則f(1)= .
答案 0
例1 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
解(1)方法一 因為f(1)=-20<0,f(8)=22>0,
所以f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零點.
方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,
所以函數(shù)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零點.
(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,
∴f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]存在零點.
(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0.
f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0.∴f(1)·f(3)<0
故f(x)=log2(x+2)-x在x∈[1,3]上存在零點.
例2 求函數(shù)y=lnx+2x-6的零點個數(shù).
解 在同一坐標系畫出y=lnx與y=6-2x的圖象,
由圖可知兩圖象只有一個交點,
故函數(shù)y=lnx+2x-6只有一個零點.
例3 (12分)(1)若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
解(1)若a=0,則f(x)=-x-1,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合題意; 2分
若a≠0,則f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù),
故有且僅有一個零點等價于Δ=1+4a=0,
解得a=-, 4分
綜上所述a=0或a=-. 6分
(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4個零點,
即|4x-x2|+a=0有四個根,即|4x-x2|=-a有四個根. 8分
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
作出g(x)的圖象,由圖象可知如果要使|4x-x2|=-a有四個根,
那么g(x)與h(x)的圖象應有4個交點. 10分
故需滿足0<-a<4,即-4<a<0.
∴a的取值范圍是(-4,0). 12分
例4 用二分法求函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個零點(精確度0.1).
解 由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,
∴f(x)在區(qū)間[1,1.5]上存在零點,
取區(qū)間[1,1.5]作為計算的初始區(qū)間,
用二分法逐次計算列表如下:
l
端(中)點 l 坐標 |
l
中點函數(shù)值 l 符號 |
l
零點所在區(qū)間 |
l
|an-bn| |
l
|
l
|
l
|
l
0.5 |
l
1.25 |
l
f(1.25)<0 |
l
|
l
0.25 |
l
1.375 |
l
f(1.375)>0 |
l
|
l
0.125 |
l
1.312 5 |
l
f(1.312 5)<0 |
l
|
l
0.062 5 |
∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
∴函數(shù)的零點落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間[1.312 5,1.375]內(nèi),故函數(shù)零點的近似值為1.312 5.
4.如果二次函數(shù)y=x2+mx+(m+3)有兩個不同的零點,則m的取值范圍是 ( )
A.(-∞,-2)∪(6,+∞) B.(-2,6)
C. D.
答案?A?
3.函數(shù)f(x)=ex-的零點所在的區(qū)間是 ( )
A.(0,) B. (,1) C. (1,) D. (,2)
答案 B
2.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象與x軸有四個交點,則該函數(shù)的所有零點之和為 ( )
A.0 B.2 C.1 D.4
答案?A
1.函數(shù)f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一個零點,則a的取值范圍是 ( )
A.a≥ B.a≤1 C.-1≤a≤ D. a≥或a≤-1
答案?D
12.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=.
(1)證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對所有
不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式,并加以證明.
(1)證明
f(-x)==-f(x),
設x1>x2>0,由于y=x在R上遞增,∴>.又(x1x2)>0,
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x1-+)=>0.
即f(x)在(0,+∞)上遞增.
同理f(x)在(-∞,0)上也遞增.
故f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,
且f(x2)-5f(x)g(x)=0.
證明如下:
f(x2)-5f(x)g(x)=.
§2.7 函數(shù)與方程
基礎自測
11.指出函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間,并比較f(-)與f(-的大小.
解 f(x)==1+=1+(x+2)-2,其圖象可由冪函數(shù)y=x-2向左平移2個單位,再向上平移1個單位,該函數(shù)在(-2,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,-2)上是增函數(shù),且其圖象關于直線x=-2對稱(如圖).
又∵-2-(-)=-2<--(-2)=2-,
∴f(-)>f(-).
10.已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調(diào)遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).
解 由條件知>0,
-n2+2n+3>0,解得-1<n<3.
又n=2k,k∈Z,∴n=0,2.
當n=0,2時,f(x)=x.∴f(x)在R上單調(diào)遞增.
∴f(x2-x)>f(x+3)轉(zhuǎn)化為x2-x>x+3.
解得x<-1或x>3.
∴原不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).
9.求函數(shù)y= (m∈N)的定義域、值域,并判斷其單調(diào)性.
解 ∵m2+m+1=m(m+1)+1必為奇數(shù),
且m2+m+1=(m+)2+>0,
∴函數(shù)的定義域為R,
類比y=x3的圖象可知,所求函數(shù)的值域為R,
在(-∞,+∞)上所求函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).
8.給出封閉函數(shù)的定義:若對于定義域D內(nèi)的任意一個自變量x0,都有函數(shù)值f(x0)∈D,則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉.若定義域D=(0,1),則函數(shù)①f1(x)=3x-1;?②f2(x)=- -x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,其中在D上封閉的是 .(填序號即可)
答案 ②③④
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