0  446250  446258  446264  446268  446274  446276  446280  446286  446288  446294  446300  446304  446306  446310  446316  446318  446324  446328  446330  446334  446336  446340  446342  446344  446345  446346  446348  446349  446350  446352  446354  446358  446360  446364  446366  446370  446376  446378  446384  446388  446390  446394  446400  446406  446408  446414  446418  446420  446426  446430  446436  446444  447090 

1.化簡求值

(1)

(2)

(3)

解  (1)原式=

(2)原式=

(3)原式=

試題詳情

5.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m 2)與時間t(月)的關系:y=at,有以下敘述:①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2;②第5

個月時,浮萍面積就會超過30 m2;③浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要經(jīng)過1.5個月;④浮萍每月增加的面積都相等;⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3,則t1+t2=t3.其中正確的是                   (   )

?A.①②                ?B.①②③④ 

?C.②③④⑤               ?D.①②⑤ 

答案?D? 

 

例1計算:(1)

(2)2

(3)

解  (1)方法一  利用對數(shù)定義求值

∴x=-1.

方法二 利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解

(2)原式=

=

(3)原式=

=

=

=

例2比較下列各組數(shù)的大小.

(1)log3與log5

(2)log1.10.7與log1.20.7;

(3)已知比較2b,2a,2c的大小關系.

解  (1)∵log3<log31=0, 

而log5>log51=0,∴l(xiāng)og3<log5. 

(2)方法一  ∵0<0.7<1,1.1<1.2, 

∴0>log0.71.1>log0.71.2, 

 

即由換底公式可得log1.10.7<log1.20.7. 

方法二  作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象. 

如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7. 

(3)∵y=為減函數(shù),且

∴b>a>c,而y=2x是增函數(shù),∴2b>2a>2c. 

例3(12分)已知函數(shù)f(x)=logax (a>0,a≠1),如果對于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,試求a的取值范圍.

解  當a>1時,對于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. 

所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上為增函數(shù),

∴對于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.                                  4分

因此,要使|f(x)|≥1對于任意x∈[3,+∞)都成立. 

只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.                                     6分 

當0<a<1時,對于x∈[3,+∞),有f(x)<0, 

∴|f(x)|=-f(x).                                               8分 

∵f(x)=logax在[3,+∞)上為減函數(shù), 

∴-f(x)在[3,+∞)上為增函數(shù). 

∴對于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.                              10分

因此,要使|f(x)|≥1對于任意x∈[3,+∞)都成立, 

只要-loga3≥1成立即可, 

∴l(xiāng)oga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a<1. 

綜上,使|f(x)|≥1對任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范圍是:(1,3]∪[,1).              12分 

例4  已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點,分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點. 

(1)證明:點C、D和原點O在同一直線上; 

(2)當BC平行于x軸時,求點A的坐標. 

(1)證明  設點A、B的橫坐標分別為x1、x2, 

由題設知x1>1,x2>1, 

則點A、B的縱坐標分別為log8x1、log8x2. 

因為A、B在過點O的直線上, 

所以 

點C、D的坐標分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 

由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2, 

OC的斜率為k1= 

OD的斜率為k2= 

由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上. 

(2)解  由于BC平行于x軸,知log2x1=log8x2, 

即得log2x1=log2x2,x2=,

代入x2log8x1=x1log8x2,得 

由于x1>1,知log8x1≠0,故=3x1, 

又因x1>1,解得x1=,

于是點A的坐標為(,log8). 

 

試題詳情

4.若f(x)=logax在[2,+∞)上恒有f(x)>1,則實數(shù)a的取值范圍是                      (   ) 

?A.(,1)   ?          B.(0,)∪(1,2) 

?C.(1,2)     ?          D.(0,)∪(2,+∞) 

答案?C? 

試題詳情

3.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于                                (   ) 

?A.      ?B.?      C.?       D. 

答案?C? 

試題詳情

2.已知3a=5b=A,且=2,則A的值是                                  (   ) 

?A.15       B.?     C.±?      D.225 

答案?B? 

試題詳情

1.(2008·全國Ⅱ理,4)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,則                      (   ) 

?A.a<b<c      ?B.c<a<b     ?C.b<a<c      ?D.b<c<a 

答案?C? 

試題詳情

12.已知f(x)= 

(1)判斷函數(shù)奇偶性; 

(2)證明:f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù); 

(3)求f(x)的值域. 

(1)解  ∵f(x)的定義域為R, 

且f(-x)==-f(x), 

∴f(x)是奇函數(shù). 

(2)證明  方法一  f(x)= 

令x2>x1,則f(x2)-f(x1) 

=

當x2>x1時,>0.

又∵+1>0,>0, 

故當x2>x1時,f(x2)-f(x1)>0, 

即f(x2)>f(x1).所以f(x)是增函數(shù). 

方法二  考慮復合函數(shù)的增減性. 

由f(x)=. 

∵y1=10x為增函數(shù), 

∴y2=102x+1為增函數(shù),y3=為減函數(shù), 

y4=-為增函數(shù), 

f(x)=1-為增函數(shù). 

∴f(x)=在定義域內(nèi)是增函數(shù). 

(3)解  方法一  令y=f(x),由y= 

解得 

∵102x>0,∴-1<y<1. 

即f(x)的值域為(-1,1). 

方法二  ∵f(x)=1-,∵102x>0,∴102x+1>1. 

∴0<<2,∴-1<1-<1, 

即值域為(-1,1).

§2.5 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

基礎自測

試題詳情

11.已知函數(shù)f(x)= (a>0,且a≠1). 

(1)判斷f(x)的單調(diào)性; 

(2)驗證性質(zhì)f(-x)=-f(x),當x∈(-1,1)時,并應用該性質(zhì)求滿足f(1-m)+f(1-m2)<0的實數(shù)m的范圍. 

解  (1)設x1<x2,x1-x2<0,1+>0. 

若a>1,則>0, 

所以f(x1)-f(x2)=<0, 

即f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù); 

同理,若0<a<1,則, 

f(x1)-f(x2)= 

即f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù). 

綜上,f(x)在R上為增函數(shù). 

(2)f(x)= 

則f(-x)=  

顯然f(-x)=-f(x). 

f(1-m)+f(1-m2)<0, 

即f(1-m)<-f(1-m2)f(1-m)<f(m2-1), 

函數(shù)為增函數(shù),且x∈(-1,1), 

故解-1<1-m<m2-1<1,可得1<m<. 

試題詳情

10.已知函數(shù)f(x)= 

(1)求f(x)的定義域; 

(2)判斷f(x)的奇偶性; 

(3)證明:f(x)>0. 

(1)解  由2x-1≠0,得x≠0, 

∴定義域為(-∞,0)∪(0,+∞). 

(2)解  由(1)得,f(x)的定義域關于原點對稱,

 f(x)= = 

則f(-x)= 

∴f(x)= 是偶函數(shù). 

(3)證明  當x>0時,2x>1,x3>0. 

>0. 

∵f(x)為偶函數(shù),∴當x<0時,f(x)=f(-x)>0. 

綜上可得f(x)>0.

試題詳情

9.要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,求a的取值范圍. 

解  由題意得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即a>-在x∈(-∞,1]上恒成立. 

又∵-

∵x∈(-∞,1],∴()x∈[,+∞). 

令t=()x,則f(t)=-(t+)2+, 

t∈[,+∞), 

則f(t)在[,+∞)上為減函數(shù), 

f(t)≤f()=-(+)2 +, 

即f(t)∈(-∞,-]. 

∵a>f(t),∴a∈(-,+∞).

試題詳情


同步練習冊答案