3.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x(x>0)臺的收入函數(shù)為R(x)=3 000x-20x² (單位：元)，其成本函數(shù)為C(x)=500x+4 000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.　

(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；　

(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值？　

解 (1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x²)-(500x+4 000)=-20x²+2 500x-4 000(x∈［1，100］且x∈N)

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)²+2 500(x+1)-4 000-(-20x²+2 500x-4 000)

=2 480-40x (x∈［1，100］且x∈N).　

(2)P(x)=-20(x-²+74 125，當(dāng)x=62或63時，P(x)_max=74 120(元).　

因?yàn)镸P(x)=2 480-40x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，MP(x)_max=2 440(元).　

因此，利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)不具有相同的最大值.　

2.求函數(shù)y=(4x-x²)的單調(diào)區(qū)間.　

解　 由4x-x²>0，得函數(shù)的定義域是(0，4).令t=4x-x²，則y=t.　

∵t=4x-x²=-(x-2)²+4，∴t=4x-x²的單調(diào)減區(qū)間是［2，4)，增區(qū)間是(0，2］.　

又y=t在(0，+∞)上是減函數(shù)，∴函數(shù)y=(4x-x²)的單調(diào)減區(qū)間是(0，2］，單調(diào)增區(qū)間是［2，4).

1.討論函數(shù)f(x)=x+(a>0)的單調(diào)性.　

解　 方法一　 顯然f(x)為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，設(shè)x₁>x₂>0,則　

f(x₁)-f(x₂) =(x₁+)-(x₂+)=(x₁-x₂)·(1-).

∴當(dāng)0<x₂<x₁≤時，>1,　

則f(x₁)-f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂),故f(x)在(0，］上是減函數(shù).　

當(dāng)x₁>x₂≥時，0<<1，則f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),　

故f(x)在［，+∞)上是增函數(shù).∵f(x)是奇函數(shù)，　

∴f(x)分別在(-∞，-］、［，+∞)上為增函數(shù)；　

f(x)分別在［-，0)、(0，］上為減函數(shù).　

方法二　 由=1-=0可得x=±

當(dāng)x>時或x<-時，>0,∴f(x)分別在(，+∞)、(-∞，-］上是增函數(shù).　

同理0<x<或-<x<0時，<0　

即f(x)分別在(0，］、［-，0)上是減函數(shù).

5.(2009·文登月考)若函數(shù)f(x) =的值域?yàn)?sub>，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　 .

答案?

例1已知函數(shù)f(x)=a^x+ (a>1).　

證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).　

證明　 方法一　 任取x₁,x₂∈(-1,+∞),　

不妨設(shè)x₁<x₂,則x₂-x₁>0,>1且>0,　

∴a，又∵x₁+1>0,x₂+1>0,　

∴>0,　

于是f(x₂)-f(x₁)=a+>0,　

故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).　

方法二 　f(x)=a^x+1-(a>1),　

求導(dǎo)數(shù)得=a^xlna+,

∵a>1,∴當(dāng)x>-1時，a^xlna>0,>0,　

>0在(-1，+∞)上恒成立，則f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).　

方法三　 ∵a>1,∴y=a^x為增函數(shù)，　

又y=，在(-1，+∞)上也是增函數(shù).　

∴y=a^x+在(-1，+∞)上為增函數(shù).　

　例2判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.　

解 　函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤-1或x≥1},　

則f(x)= ,　

可分解成兩個簡單函數(shù).　

f(x)= =x²-1的形式.當(dāng)x≥1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù).　

∴f(x)=在［1，+∞)上為增函數(shù).當(dāng)x≤-1時，u(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，　

∴f(x)=在(-∞,-1］上為減函數(shù).　

　例3 　求下列函數(shù)的最值與值域：　

(1)y=4-;(2)y=2x-;　

(3)y=x+;(4)y=.　

解 (1)由3+2x-x²≥0得函數(shù)定義域?yàn)椋?1，3］，又t=3+2x-x²=4-(x-1)².　

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，從而，當(dāng)x=1時，y_min=2.當(dāng)x=-1或x=3時，y_max=4.故值域?yàn)椋?，4］.　

(2) 方法一　 令=t(t≥0),則x=.∴y=1-t²-t=-(t+²+.　

∵二次函數(shù)對稱軸為t=-,∴在［0，+∞)上y=-(t+²+是減函數(shù)，　

故y_max=-(0+²+=1.故函數(shù)有最大值1，無最小值，其值域?yàn)?-∞，1］.　

方法二 　∵y=2x與y=-均為定義域上的增函數(shù)，∴y=2x-是定義域?yàn)閧x|x≤}上的增函數(shù)，

故y_max=2×=1,無最小值.故函數(shù)的值域?yàn)?-∞,1］.　

(3)方法一　 函數(shù)y=x+是定義域?yàn)閧x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故只討論x>0時,即可知x<0時的最值.　

∴當(dāng)x>0時,y=x+≥2=4，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取得.當(dāng)x<0時，y≤-4,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取得.

綜上函數(shù)的值域?yàn)?-∞，-4］∪［4，+∞)，無最值.　

方法二　 任取x₁,x₂,且x₁<x₂,　

因?yàn)閒(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=　

所以當(dāng)x≤-2或x≥2時，f(x)遞增,當(dāng)-2<x<0或0<x<2時，f(x)遞減.　

故x=-2時，f(x)_最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)_最小值=f(2)=4,　

所以所求函數(shù)的值域?yàn)?-∞，-4］∪［4，+∞)，無最大(小)值.　

(4)將函數(shù)式變形為　

y=,　

可視為動點(diǎn)M(x,0)與定點(diǎn)A(0，1)、B(2，-2)距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點(diǎn)(橫坐標(biāo))即為所求的最小值點(diǎn).　

y_min=|AB|=，可求得x=時，y_min=.　

顯然無最大值.故值域?yàn)椋?sub>，+∞).　

例4 (12分)函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時，f(x)>1.　

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；　

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)<3.　

解　 (1)設(shè)x₁,x₂∈R，且x₁<x₂,　

則x₂-x₁>0,∴f(x₂-x₁)>1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　2分　

f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)　

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1>0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　5分

∴f(x₂)>f(x₁).　

即f(x)是R上的增函數(shù).　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，　

∴f(2)=3，　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

∴原不等式可化為f(3m²-m-2)<f(2),　

∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m²-m-2<2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　10分

解得-1<m<,故解集為(-1,).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　12分

4.函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+c，其中a、b、c∈R，則a²-3b＜0時，f(x)是　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　A.增函數(shù)　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.減函數(shù)　

?C.常數(shù)函數(shù)?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.單調(diào)性不確定的函數(shù)　

答案?A?　

3.若函數(shù)f(x)=x²+(a²-4a+1)x+2在區(qū)間(-∞，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　

?A.［-3，-1］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?B.(-∞，-3］∪［-1，+∞)　

?C.［1，3］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?D.(-∞，1］∪［3，+∞)　

答案 ?C?　

2.(2008·保定聯(lián)考)已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，則F(x)是R上的　　　　　　　　 (　 )

? A.增函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?B.減函數(shù)　

? C.先減后增的函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　 ?D.先增后減的函數(shù)　

答案?B

1.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則f(x)=0的根　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )　

?A.有且只有一個　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.有2個　

?C.至多有一個　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上均不對　

答案?C?　

12.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.　

(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時，能租出多少輛車？　

(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？　

解 (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時，未租出的車輛數(shù)為=12，所以這時租出了88輛車.

(2)設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為f(x)=(100-×50.

整理得f(x)=- +162x-21 000=-(x-4 050)²+307 050.　

所以，當(dāng)x=4 050時，f(x)最大，最大值為f(4 050)=307 050.

即當(dāng)每輛車的月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307 050元.

§2.2　 函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

基礎(chǔ)自測

11.如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑,且上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫出梯形周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系式，并求出它的定義域.　

解 　AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上，　

設(shè)腰長AD=BC=x，作DE⊥AB，　

垂足為E，連接BD，　

那么∠ADB是直角，　　　　

由此Rt△ADE∽Rt△ABD.　

∴AD²=AE×AB，即AE=，∴CD=AB-2AE=2R-，　

所以y=2R+2x+(2R-),　即y=-+2x+4R.　

再由,解得0<x<R.　所以y=-+2x+4R,定義域?yàn)?0，R).