題目列表(包括答案和解析)
8.若,則常數(shù)的值為 ( )
A. B. C. D.
解:∵,令a-b=--a,這時
,∴a=-2,由此得b=-4,選(C)
7.若 ( )
A. B. C. D.
解:∵sinα+cosα=∈(1,),∴排除(A),(B),當α=時,tanα=1,sinα+cosα=,這時
sinα+cosα≠tanα,∴選(C)
6.在這四個函數(shù)中,當時,使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:∵當時,,即當時,使log2x,
恒成立,其它3個函數(shù)都可以舉出反例當時,使不成立(這里略),選(B)
5.雙曲線離心率為2,有一個焦點與拋物線的焦點重合,則mn的值為 ( )
A. B. C. D.
解:拋物線的焦點為(1,0),∴得m=,n=,∴mn=,選(A)
4.函數(shù)的圖象大致是 ( )
解:=選(D)
3. ( )
A. B. C. D.
解:,選(C)
2.對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題:
①“”是“”充要條件; ②“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件③“a>b”是“a2>b2”的充分條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.
其中真命題的個數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:①是假命題,∵由ac=bc推不出a=b;②是真命題;③是假命題;④是真命題,∵“a<3”“a<5”,選(B)
1.設P、Q為兩個非空實數(shù)集合,定義集合P+Q=
,則P+Q中元素的個數(shù)是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解:集合P中和集合Q中各選一個元素可組成的組合數(shù)為其對應的和有一個重復:0+6=1+5,
故P+Q中的元素有8個,選(B)
( 15 )(本小題滿分12分)
化簡并求函數(shù)的值域和最小正周期.
[答案]
解:
∴ ,,
∴的值域是,最小正周期是.
( 16 ) (本小題共14分)
如圖3所示,在四面體中,已知,
.是線段上一點,,點在線段上,且.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求二面角的大。
[答案]
(Ⅰ)證明:在中, ∵
∴
∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形,
同理可證,△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形,
△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形.
在中,∵
∴ ∴
又∵
∴
(II)
解法一:由(I)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE
∴CE⊥平面PAB,而EF平面PAB,
∴EF⊥EC,
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角,
∵
∴,
∴二面角B-CE-F的大小為.
解法二:如圖,以C點的原點,CB、CA為x、y軸,
建立空間直角坐標系C-xyz,則
,,,,
∵為平面ABC的法向量,
為平面ABC的法向量,
∴,
∴二面角B-CE-F的大小為.
|
在平面直角坐標系中,拋物線上異于坐標原點的兩不同動點A、B滿足(如圖4所示)
(Ⅰ)求得重心(即三角形三條中線的交點)
的軌跡方程;
(Ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請求出
最小值;若不存在,請說明理由.
[答案]
解法一:
(Ⅰ)∵直線的斜率顯然存在,∴設直線的方程為,
,依題意得
,①
∴,② 、
∵,∴,即 ,④
由③④得,,∴
∴設直線的方程為
∴①可化為 ,∴ ⑤,
設的重心G為,則
⑥ , 、,
由⑥⑦得 ,即,這就是得重心的軌跡方程.
(Ⅱ)由弦長公式得
把②⑤代入上式,得 ,
設點到直線的距離為,則,
∴ ,
∴ 當,有最小值,
∴的面積存在最小值,最小值是 .
解法二:
(Ⅰ)∵ AO⊥BO, 直線,的斜率顯然存在,
∴設AO、BO的直線方程分別為,,
設,,依題意可得
由得 ,由得 ,
設的重心G為,則
① , 、冢
由①②可得,,即為所求的軌跡方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,
∴
,
當且僅當,即時,有最小值,
∴的面積存在最小值,最小值是 .
解法三:(I)設△AOB的重心為G(x , y) ,A(x1, y1),B(x2 , y2 ),則
…(1)
不過∵OA⊥OB ,
∴,即, …(2)
又點A,B在拋物線上,有,
代入(2)化簡得,
∴,
∴所以重心為G的軌跡方程為,
(II),
由(I)得,
當且僅當即時,等號成立,
所以△AOB的面積存在最小值,存在時求最小值1 .
( 18 ) (本小題共12分)
箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球,黃、白乒乓球的數(shù)量比為.現(xiàn)從箱中每次任意取出一個球,若取出的是黃球則結(jié)束,若取出的是白球,則將其放回箱中,并繼續(xù)從箱中任意取出一個球,但取球的次數(shù)最多不超過n次.以表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù).
(Ⅰ)求的分布列;
(Ⅱ)求的數(shù)學期望.
[答案]
解:(Ⅰ)取出黃球的概率是,取出白球的概率是,則
, , ,
……, , ,
∴的分布列是
|
0 |
1 |
2 |
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
(Ⅱ)
… 、
… ②
①-②得
…
∴
∴的數(shù)學期望是.
( 19 ) (本小題共14分)
設函數(shù)在上滿足,,且在閉區(qū)間[0,7]上,只有.
(Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性;
(Ⅱ)試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.
[答案]
解:(Ⅰ)∵,
∴
即 ,
∵在[0,7]上,只有,
∴,∴,
∴是非奇非偶函數(shù).
(Ⅱ)由,令,得 ,
由,令,得 ,
∴,
∴是以10為周期的周期函數(shù),
由得,的圖象關(guān)于對稱,
∴在[0,11]上,只有,
∴10是的最小正周期,
∵在[0,10]上,只有,
∴在每一個最小正周期內(nèi)只有兩個根,
∴在閉區(qū)間上的根的個數(shù)是.
( 20 ) (本小題共14分)
在平面直角坐標系中,已知矩形的長為2,寬為1,、邊分別在軸、軸的正半軸上,點與坐標原點重合(如圖5所示).將矩形折疊,使點落在線段上.
(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為,試寫出折痕所在直線的方程;
(Ⅱ)求折痕的長的最大值.
[答案]
解:(Ⅰ)( i ) 當時,此時A點與D點重合, 折痕所在的直線方程,
( ii ) 當時,設A點落在線段上的點,
,則直線的斜率,
∵
∴,∴ ,∴
又∵折痕所在的直線與的交點坐標(線段的中點)
為,
∴折痕所在的直線方程,即,
由( i ) ( ii )得折痕所在的直線方程為:
(Ⅱ)折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為
由(Ⅰ)知,,∵,∴,
設折痕長度為d,所在直線的傾斜角為,
( i ) 當時,此時A點與D點重合, 折痕的長為2 ;
( ii )當時,
設,,
時,l與線段AB相交,此時,
時,l與線段BC相交,此時,
時,l與線段AD相交,此時,
時,l與線段DC相交,此時,
∴將k所在的分為3個子區(qū)間:
①當時,折痕所在的直線l與線段DC、AB相交,
折痕的長,
∴,
②當時,折痕所在的直線l與線段AD、AB相交,
令,即,即,
即 ,
∵,∴解得
令, 解得 ,
故當時,是減函數(shù),當時,是增函數(shù),
∵,,
∴,
∴當時,,
,
∴當時, ,
③當時,折痕所在的直線l與線段AD、BC相交,
折痕的長,
∴,即,
綜上所述得,當時,折痕的長有最大值,為.
(11)函數(shù)的定義域是 .
[答案]
解:使有意義,則,
∴ ,∴,
∴的定義域是.
(12)已知向量,,且,則 .
[答案]4
解:∵,∴,∴,∴.
(13)已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等,則
.
[答案]
解:的通項為,,
∴的展開式中的系數(shù)是,
的通項為,,
∴的展開式中的系數(shù)是
∴ ,.
(14)設平面內(nèi)有條直線,其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用表示這條直線交點的個數(shù),則=____________;當時, .(用表示)
[答案]5,
解:由圖B可得,
由,,,
,可推得
∵n每增加1,則交點增加個,
∴
.
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