2009屆北京先知文化中心模擬卷

數(shù)學試題(三)

(試卷總分150分  考試時間120分鐘)

第Ⅰ卷(選擇題  共60分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分 在每小題給出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的)

1.設全集,,則(    )

A.               B.             C.              D.學

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2.(理)復數(shù)的實部與虛部的和為(    )                                     

A.1                                        B.                     C.                          D.

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2.解:,故選B。

(文)若向量,則(    )

A.                   B.              C.             D.

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3.不等式組的解集是(    )

A.   B.    C.     D.

 

4.若定義在R上的函數(shù)滿足,且,則可以是(  )

A.                                     B.

C.                                       D.

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5.已知數(shù)列,滿足,則以點、為直徑端點的圓方程為( )

A.              B.

C.              D.

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6.已知的展開式中的系數(shù)為,的展開式中的系數(shù)為,則(   )

A.為定值      B.為定值       C.為定值       D.為定值

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7.(理)設,則它的值屬于兩個連續(xù)整數(shù)之間的區(qū)間是(   )

A.            B.             C.             D.

(文)(     )

A.1               B.3                  C.4                 D.5

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8.建陵中學高一A班有學生40名,其中男生24人,B班有學生50名,其中女生30人,現(xiàn)從A、B兩班各找一名學生進行問卷調查,則找出的學生是一男一女的概率為(  )

A.                     B.                    C.                      D.

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9.已知、是兩條不重合的直線,、是兩個不重合的平面,給出下列命題:

①若,,則;              ②若,,則;

③若,,,則;         ④若,,,則.

其中正確的結論的個數(shù)為(   )個

A.1                B.2                  C. 3                 D.4

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10.(理)設,O為坐標原點,若A、

B、C三點共線,則的最小值是   (   )

  A.2                           B.4                             C.6                                   D.8

(文)設,O為坐標原點,且A、B、

C三點共線,若∶=1∶2,則,的值分別是(   )

A.            B.             C.                   D.

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11.(理)設是曲線:的焦點,是曲線:與的一個交點,則的值為(  )

A.等于零          B. 大于零          C.小于零       D.以上三種情況都有可能

(文)設是曲線:的焦點,是曲線:與的一個交點,則的面積為(   )

A.1               B.3               C.5            D.以上三種情況都有可能

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12.(理) ,則…=(   ).

A.        B.           C.           D.

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12.(文)在三角形ABC中,三個內角分別為A,B,C,則=是三角形ABC為等腰直角三形的(      )條件。

A.充分且必要      B.充分不必要     C.必要不充分       D.既不充分也不必要

               第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

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二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分, 請把正確的答案填寫在各小題的橫線上。)

13. (理)       

(文)      。

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14.設是偶函數(shù),則的值為       。

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15.已知函數(shù),,則函數(shù)

在區(qū)間上的最小值為       。

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16.(理)已知數(shù)列對于任意的,滿足,

則當       時,數(shù)列的通項,且…

        。

(文)已知數(shù)列對于任意的,滿足且,

那么        

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三.解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟).

17.(本小題滿分10分)

在△中,角所對的邊分別為,.

 (I).試判斷△的形狀;

(II).若△的周長為16,求面積的最大值.

18(本小題滿分12分).

中央電視臺《同一首歌》大型演唱會即將于近日在西部某市舉行,甲、乙兩人參加大會青年志愿者的選拔.已知在備選的10道試題中,甲能答對其中的6題,乙能答對其中的8題。規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試,至少答對2題才能入選.

(Ⅰ)求甲、乙兩人至少有一人入選的概率.

(Ⅱ)(理)求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學期望;

(文)問:甲、乙兩人誰入選的概率大?

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19.(本小題滿分12分)

如圖所示,在棱長為的正方體中,、分別為、的中點.

(1)求證://平面;

(2)求證:;

(3)求二面角的正切值。

(4)(理)求三棱錐的體積.

(文)求三棱錐的體積.

 

 

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20. (本小題滿分12分)

在等差數(shù)列中,公差d≠0,,,,成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列的通項公式;

 (II)(文)若數(shù)列滿足,其前n項和為,求證:<1

(理)若數(shù)列滿足,設為數(shù)列的前項和,

試用數(shù)學歸納法證明:。

 

 

21(本小題滿分12分)

函數(shù)的定義域為D:,對任意有,有

。

(1)求的值;(2)判斷的奇偶性并證明。

(3)(理)如果,且在上是增函數(shù),求的取值范圍。

 

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22.(本題滿分12分)

(理)在直角坐標平面中,△的兩個頂點AB的坐標分別為

兩動點向量

(Ⅰ)求△的頂點C的軌跡;

(Ⅱ)若過點的直線與點C的軌跡相交于E、F兩點,求?的取值范圍;

(Ⅲ)若軌跡在第一象限內的任意一點,則是否存在常數(shù)λ(λ>0),使得∠QHG=λ∠QGH恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

(文) 已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率等于。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點,交y軸于M點,若=λ1,=λ2,求證λ12為定值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

參 考 答 案

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1.解:∵ 或,∴。故選B。

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2.解:,故選B。

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3.解:,故選B。

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4.解:∵,∴排除A、B,又∵,∴選D

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5.解:,,從而,,因此圓的方程為:

,即,故選A。

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6.解:∵,,∴,故選A。

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7.(理)解:,,

∴,故選B。

(文)解:,故選A。

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8.解:找出的學生是一男一女的概率為,故選B。

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9.解:①④正確,②③不正確,故選B。

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10.解:(理),。

又∵A、B、C三點共線,∴∥,從而,即,

,故選B。

(文),。

又∵A、B、C三點共線,∴∥,從而,即,

∵∶=1∶2,∴,因而得,故選A。

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11.解(理)設,,從而,

,所以,從而,故選A。

(文)設為雙曲線的左右焦點,則,,,

又由解得,,所以,故選A。

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12. 解:(理)

∴…=…

.故選A。

(文)由=,只能得知三角形ABC為等腰角三形,但不能判定三角形ABC為直角三角形,所以充分性不具備。

   若三角形ABC為等腰直角三形,也不一定必有=,如可以是=∠C,角B為直角,所以必要性也不具備。故選擇D。

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13.解:。

(文)。

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14.解:∵是偶函數(shù),且定義域為,

∴,對于恒成立,

從而,

,對于恒成立,∴。

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15.解:∵,又∵,

∴,當且僅當時,等號成立,

故。

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16.解(理)∵當時,,∴數(shù)列為等差數(shù)列,且公差,

從而,又,∴,故當時,數(shù)列的通項;

。

(文)∵當時,,∴數(shù)列為等差數(shù)列,且公差,

從而,又,∴,。

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17.解:(Ⅰ). ,

∴,∵,∴,即,

所以此三角形為直角三角形. ……5分

(Ⅱ).

當且僅當時取等號,此時面積的最大值為.

………………10分

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18.解:(Ⅰ)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,則

P(A)==, P(B)= .                     

因為事件A、B相互獨立,

∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為 ,

∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 .

答:甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.          ……6分

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(Ⅱ)(理)依題意,甲答對試題數(shù)ξ的可能取值為0、1、2、3,則

,     ,

,    ,     

其分布列如下:

ξ

0

1

2

3

P

甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學期望                               

Eξ=.                  ……12分

(文)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,則P(A)==, P(B)=,。

答:乙入選的概率大!12分

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19.證明:(1)連結,在中,、分別為,的中點,則

            

  ……3分

(2)方法一:

 

……6分

方法二:以、、的方向分別為、、軸的方向建立空間直角坐標系,

則、、、的坐標分別為、、、,

∴,,從而,

因而,即。

(3)∵點為的中點,且為正方形,∴,

又平面,∴,

而,∴平面,

又平面,∴,故為二面角的平面角,

在中,,,∴,

因而二面角的正切值為。  ……9分

(4)(理)

     且 

,

∴即  

=

=            ……12分

(文),,。

                                 ……12分

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20.解:(I)數(shù)列的公差為d,則

   ∵a1,a3,a7成等比數(shù)列,∴,得d=0(舍去)或d=1

   ∴。  ……5分

   (Ⅱ)(文)由(Ⅰ)知

∴<1

  ……12分

(理)證明:(1)當時,,又,等式成立。

(2)假設當時,等式成立,即,

那么,當時,

=

,即時,等式也成立。

由(1),(2)得對一切都有成立。     ……12分

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21.解:(1)令,有,解得。(文)  ……5分

(理)  ……3分

(2)為定義域為D上的偶函數(shù)。

證明:令,,解得。

令,,有,∴。

又∵的定義域為D:關于原點對稱,∴為偶函數(shù)。 (文)……12分

    (理)……7分

(3)(理),。

∴,即    ①

∵在上是增函數(shù),

∴①等價于不等式組:或,

或,∴或,

或。

故的取值范圍為,或或 (理) ……12分

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22.解:(理)(1)設C點的坐標為

△ABC的重心,故可得M為

整理得,,即C點的軌跡是以,為焦點,實軸長為的雙曲線但不包括兩個頂點!4分

(2)設()

(當時,直線與雙曲線只有一個交點,不符合題意)

代入①

或或,

 

或或,

而x1,x2是方程①的兩根,

故的取值范圍為 ……8分   

(3)設

故猜想存在λ=2,使∠QHG=λ∠QGH總成立.

當QH不垂直x軸時,,。

又∵2∠QGH與∠QHG同在(0,)∪(,π)內,∴2∠QGH=∠QHG.

故存在λ=2,使2∠QGH=∠QHG恒成立.  ……12分

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解:(文)(I)設橢圓C的方程為,則由題意知b = 1.

∴橢圓C的方程為         ……5分    

   (II)方法一:設A、B、M點的坐標分別為

易知F點的坐標為(2,0).

∴               

將A點坐標代入到橢圓方程中,得

去分母整理得 

同理,由可得

是方程的兩個根,

          ……12分

方法二:設A、B、M點的坐標分別為又易知F點的坐標為(2,0).

顯然直線l存在的斜率,設直線l的斜率為k,則直線l的方程是

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中,消去y并整理得

      

       

   ……12分

 

 

 

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