【題目】設(shè)函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;

2)令,其圖象上存在一點(diǎn),使此處切線的斜率,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng) 時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析:(1)依題意確定的定義域,對(duì)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)的最大值;(2)表示出,根據(jù)其圖象上存在一點(diǎn),使此處切線的斜率可得,在上有解,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)由,方程有唯一實(shí)數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),求出的單調(diào)性,即可求出正數(shù)的值.

試題解析:(1)依題意, 的定義域?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí), ,

,得,解得

,得,解得

,∴單調(diào)遞増,在單調(diào)遞減;所以的極大值為,此即為最大值

(2),則有,在上有解,

, ,∵,所以當(dāng)時(shí),

取得最小值,∴

(3)由,令,

, ,∴上單調(diào)遞增,而

∴在,即,在,即

單調(diào)遞減,在單調(diào)遞増,∴極小值,令,即時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解.

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