【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-2x.
(1)求f(x)的解析式,并畫出f(x)的圖象;
(2)設(shè)g(x)=f(x)-k,利用圖象討論:當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時,函數(shù)g(x)有一個零點(diǎn)?二個零點(diǎn)?三個零點(diǎn)?
【答案】(1) f(x)=,函數(shù)圖象略.
(2)當(dāng)k<-1或k>1時,有1個零點(diǎn);當(dāng)k=-1或k=1時,2個零點(diǎn);
當(dāng)-1<k<1時,3個零點(diǎn).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先設(shè)x<0可得﹣x>0,則f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)可得f(x)=﹣f(﹣x),可求,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可作出f(x)的圖象
(II)由g(x)=f(x)﹣k=0可得f(x)=k,結(jié)合函數(shù)的圖象可,要求g(x)=f(x)﹣k的零點(diǎn)個數(shù),只要結(jié)合函數(shù)的圖象,判斷y=f(x)與y=k的交點(diǎn)個數(shù)
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng)x≥0時,f(x)=x2﹣2x.
設(shè)x<0可得﹣x>0,則f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x
∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2﹣2x
∴函數(shù)的圖象如圖所示
(II)由g(x)=f(x)﹣k=0可得f(x)=k
結(jié)合函數(shù)的圖象可知
①當(dāng)k<﹣1或k>1時,y=k與y=f(x)的圖象有1個交點(diǎn),即g(x)=f(x)﹣k有1個零點(diǎn)
②當(dāng)k=﹣1或k=1時,y=k與y=f(x)有2個交點(diǎn),即g(x)=f(x)﹣k有2個零點(diǎn)
③當(dāng)﹣1<k<1時,y=k與y=f(x)有3個交點(diǎn),即g(x)=f(x)﹣k有3個零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)若,求的取值范圍;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時,討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩個不同的點(diǎn),若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值;
(2)令,其圖象上存在一點(diǎn),使此處切線的斜率,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng), 時,方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形的中心為點(diǎn), 邊所在的直線方程為.
(1)求邊所在的直線方程和正方形外接圓的方程;
(2)若動圓過點(diǎn),且與正方形外接圓外切,求動圓圓心的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線 所圍成封閉圖形面積為,曲線是以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓, 離心率為. 平面上的動點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn),且過點(diǎn)
引橢圓的兩條切線互相垂直.
(1)求曲線的方程;
(2)求動點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為, 分別是橢圓的上、下頂點(diǎn), .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于相異兩點(diǎn),且滿足直線的斜率之積為,證明:直線恒過定點(diǎn),并采定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足a1=a,b1=1,c1=3,對于任意n∈N* , 有bn+1= ,cn+1= .
(1)求數(shù)列{cn﹣bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}和{bn+cn}都是常數(shù)項(xiàng),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若數(shù)列{an}是公比為a的等比數(shù)列,記數(shù)列{bn}和{cn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn , 記Mn=2Sn+1﹣Tn , 求Mn< 對任意n∈N*恒成立的a的取值范圍.
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