【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣t)|x|(t∈R).
(1)當(dāng)t=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若t∈(0,2),對(duì)于x∈[﹣1,2],不等式f(x)>x+a都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)t=2時(shí),f(x)=(x﹣t)|x|= ,

根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得:

f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增,(0,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增.


(2)解:f(x)= ,

當(dāng)t>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[ ,+∞),(﹣∞,0],單調(diào)減區(qū)間為[0, ],

當(dāng)t=0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R

當(dāng)t<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[0,+∞),(﹣∞, ],單調(diào)減區(qū)間為[


(3)解:設(shè)g(x)=f(x)﹣x=

x∈[0,2]時(shí),∵ ∈(0,2),∴gmin(x)=g( )=﹣

x∈[﹣1,0]時(shí),∵g(﹣1)=﹣t,g(0)=0,∴gmin(x)=﹣t

故只須t∈(0,2),使得: 成立,即

所以a≤﹣


【解析】(1)當(dāng)t=2時(shí),f(x)=(x﹣t)|x|= ,作出其圖像,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)分t>0、t=0、t<0三類討論,可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)g(x)=f(x)﹣x= ,依題意,可求得gmin(x)=﹣t,只須t∈(0,2),使得: 成立,解之即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的奇偶性與單調(diào)性的綜合,需要了解奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能得出正確答案.

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