【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax. (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為2,求實數(shù)a;
(Ⅱ)若a=1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]的最值及所對應(yīng)的x的值.

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=x3﹣3ax∴f′(x)=3x2﹣3a
因為函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為2,
∴f′(1)=3﹣3a=2,
∴a=
(Ⅱ)由a=1,得:函數(shù)f(x)=x3﹣3x
則:f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1)
令f′(x)=0,則x=1或x=﹣1

x

0

(0,1)

1

(1,3)

3

f′(x)

0

+

f(x)

0

單調(diào)遞減

極小值﹣2

單調(diào)遞增

18

故:當(dāng)x=1時,f(x)min=f(1)=﹣2;
當(dāng)x=3時,f(x)max=f(3)=18
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),利用在x=1處的切線斜率為2,列出方程即可求實數(shù)a;(Ⅱ)通過a=1,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,然后求解函數(shù)的最值以及x的值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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B.
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D.

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