Question

10．把一個(gè)自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個(gè)新數(shù)，叫做第一次運(yùn)算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個(gè)新數(shù)，叫做第二次運(yùn)算，…如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂(lè)數(shù)”，例如：
23→2²+3²=13→1²+3²=10→1²+0²=1
91→9²+1²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1．
所以23和91都是“快樂(lè)數(shù)”．
（1）13是（填“是”或“不是”）“快樂(lè)數(shù)”；最小的三位“快樂(lè)數(shù)”是100；
（2）若一個(gè)兩位“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，求出這個(gè)“快樂(lè)數(shù)”；
（3）請(qǐng)證明任意一個(gè)“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后都不可能得到16．

Answer 1

分析 （1）由13經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1可得出13是“快樂(lè)數(shù)”，再由100經(jīng)過(guò)一次運(yùn)算后結(jié)果為1結(jié)合100為最小的三位數(shù)即可得出最小的三位“快樂(lè)數(shù)”是100；
（2）由一個(gè)兩位“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1可得出該“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)一次運(yùn)算后結(jié)果為10或100，將10和100拆分成兩個(gè)平方數(shù)相加的格式即可得出結(jié)論；
（3）通過(guò)運(yùn)算可找出16不是“快樂(lè)數(shù)”，結(jié)合“快樂(lè)數(shù)”在經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后仍為“快樂(lè)數(shù)”即可證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵13→1²+3²=10→1²+0²=1，
∴13是“快樂(lè)數(shù)”．
∵100→1²+0²+0²=1，且100是最小的三位數(shù)，
∴最小的三位“快樂(lè)數(shù)”是100．
故答案為：是；100．
（2）∵一個(gè)兩位“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，
∴該兩位數(shù)經(jīng)過(guò)一次運(yùn)算為10或100，
∵10=1+9=1²+3²，100=64+36=8²+6²，
∴這個(gè)“快樂(lè)數(shù)”為13、31、68或86．
（3）∵16→1²+6²=37→3²+7²=58→5²+8²=89→8²+9²=145→1²+4²+5²=42→4²+2²=20→2²+0²=4→4²=16，
∴16不是“快樂(lè)數(shù)”．
∵任意一個(gè)“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后得到的數(shù)都是“快樂(lè)數(shù)”，
∴任意一個(gè)“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后都不可能得到16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，讀懂題意弄清“快樂(lè)數(shù)”的判定是解題的關(guān)鍵．