Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=d，過A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，使AC=AB，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于E．
（1）求證：△CDE∽△CAD；
（2）求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連AD，根據(jù)由兩對角相等的三角形相似即可證明△CDE∽△CAD，
（2）由（1）中的三角形相似得出對應(yīng)邊成比例，即

CD

CE

=

CA

AD

，再由△ADE∽△BDA，得出

AE

DE

=

AB

AD

進(jìn)而得出AE=CD，得出CD是⊙ADE的切線，再由切線的性質(zhì)代入求解即可．

解答：證明（1）如圖，連接AD，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
又∵∠3=∠4，且∠1=∠2，
則∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CDE∽△CAD；
（2）∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CE

=

CA

AD

①，
又△ADE∽△BDA，
∴

AE

DE

=

AB

AD

②，
由①②及AB=AC得AE=CD．
∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CA

=

CE

CD

，
令A(yù)E=x，則CE=d-x，于是有x²=d（d-x），
即x²+dx-d²=0，
解此方程并取正根，得AE=x=

5 -1

2

d．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及圓周角和切線的性質(zhì)等問題，對于圓形與三角形結(jié)合的問題，能夠熟練掌握．