Question

如圖，點M、N是邊長為4的正△ABC邊AB、AC上的動點，且滿足：將△AMN沿MN折疊，使A點恰好落在BC邊上的D點處．
（1）求證：△BDM∽△CND；
（2）若BD：CD=2：3，試求AM：AN的值；
（3）若DM⊥BC，試求CM的值；
（4）當D從B移動到C，點N運動的總路線長是多少？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：探究型

分析：（1）由等邊三角形的性質可知，∠A=∠B=∠C=60°，根據圖形反折變換的性質可知，∠MDN=∠A=60°，故∠MDB+∠NDC=120°，在△BDM中由于∠MDB+∠BMD=120°，所以∠BMD=∠NDC，故可得出結論；
（2）由△ABC是邊長為4的等邊三角形，BD：CD=2：3，可知BD、CD的長，再由（1）中△BDM∽△CND，可知BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，再把AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN代入即可得出結論；
（3）當DM⊥BC時，連接CM，設BM=x，則MD=AM=4-BM=4-x，在Rt△BDM中，由sinB=sin60°=

MD

BM

=

4-x

x

=

3

2

可求出x的值，進而得出MD及BD的長，根據勾股定理即可求出CM的長；
（4）當ND⊥BC時，N點到達離C點最遠處，同（3）可知此時NC=8（2-

3

），當D點繼續(xù)向C點移動時，N往AC中點移動，由此即可得出結論．

解答：（1）證明：∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
又∵在△BDM中，∠MDB+∠BMD=120°，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BDM∽△CND；

（2）解：∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，BD：CD=2：3，
∴BD=1.6，CD=2.4，
∵由（1）知，△BDM∽△CND，
∴BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，
∵AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN，
∴（4-AM）：2.4=1.6：（4-AN）=AM：AN，
∴2.4AM=4AN-AN•AM①，1.6AN=4AM-AM•AN②，
①-②得，2.4AM-1.6AN=4AN-4AM，即6.4AM=5.6AN
∴AM：AN=（5.6）：（6.4）=7：8；

（3）解：如圖所示，當DM⊥BC時，連接CM，設BM=x，則MD=AM=4-BM=4-x
∵在Rt△BDM中，sinB=sin60°=

MD

BM

=

4-x

x

=

3

2

，解得x=8（2-

3

），
∴MD=4-x=4-8（2-

3

）=8

3

-12，
∴BD=

1

2

BM=4（2-

3

），
∴CD=4-BD=4-4（2-

3

）=4

3

-4
∴CM=

MD2+CD2

=

(8 3 -12)2+(4 3 -4)2

=4

25-14 3

；

（4）解：∵當ND⊥BC時，N點到達離C點最遠處，
∴同（3）可知此時NC=8（2-

3

）
∵當D點繼續(xù)向C點移動時，N往AC中點移
∴N點的路程是：2×8（2-

3

）-

1

2

×4=30-16

3

．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等邊三角形的性質及翻折變換的性質、相似三角形的判定定理等相關知識，難度適中．